胡馨月

摘 要：在现代教育研究领域的不断拓展，泰勒公式成了高等数学中的一个重要知识点，且对高等数学的发展有很大的作用。泰勒公式可以将一些复杂函数近似地转化为简单的多项式函数，能用高次多项式进行精确度要求较高的运算。也是人们分析和研究数学问题的一个重要的工具，目前在高等数学中的应用十分广泛。

关键词：泰勒公式 高等数学 应用

泰勒公式是求解高等数学问题的一个重要工具。其在微积分的各个方面都有广泛应用。尤其是在近似计算，误差估计以及判断函数增减性、凹凸性等方面也有很好的应用。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 在函数的图像足够光滑，并且已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，而且还能计算出多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式不仅能解决特殊类型的有理函数不定积分，而且还能求解出函数的极限。

一、泰勒公式

泰勒公式是根据该函数的特性对其进行求解，我们可以使用泰勒公式将一些非初等函数转换为多项式函数进行计算，从而在一定程度上省略了很多换算的步骤。这也是在高等数学它能广泛应用的一个重点。泰勒公式：f（x）=f（x0）+f（x0）/1！*（x-x0）+f（x0）/2！*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n！（x-x0）^n+o（（x-x0）^n）。我们把其中的o（（x-x0）^n）称之为拉格朗日型余项。特别应该注意的是在对泰勒公式的使用有一些具体的条件就是必须保证函数f（x）的n阶可导，然后才能转化和计算。

二、泰勒公式在高等数学中的应用

1.利用泰勒公式求函数极限

高等数学中求解未定式极限是极限运算中的典型问题，用等价无穷小量替换求极限是一种有效的方法。运用泰勒公式法需要注意的一个问题是将函数展开至化简后n+1阶导存在即可。利用泰勒展开式的余项可以近似的表示近似这个函数后所产生的误差，使误差不超过预期。有时在想要证明不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于根据题设的条件来选择要展开的函数、在哪一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项的形式。

举个例子，如何利用泰勒公式求未定式的极限。未定式一般是用洛比达法则求解，在分子分母的阶数都是无穷小时必须进行多次洛比达法则，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式会更简单。有些求无穷型极限可以用洛比达法则求解，不过此时利用泰勒公式可以将问题大大简化。利用泰勒公式求极限是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法，其实质是将函数用泰勒公式展开，再利用了泰勒公式的分式作用化简再利用无穷小阶的估计，从而得到极限。

2.判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是一种比较繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式。此时一般需要考虑两个问题。

一是数项级数的敛散性判断，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，如何要利用泰勒公式将级数通项简化？此时我们需要直接根据通项去判断级数无法恰当选择判敛方法。使用放缩等技巧是比较判别法常用的技巧。

二是如何判断函数项级数的敛散性？我们一般常用的是魏尔斯特拉斯判别法，通过与正项常数项级数进行比较来判断是否一致收敛。在此过程中，我们可以利用泰勒公式对函数进行展开，从而与正项常数项级数进行比较，然后进行进一步的判断。

3.证明不等式

泰勒公式不仅在理论上占有重要的地位，也数学分析中是一个非常重要的内容，微分学理论中利用泰勒公式建立了函数的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间的关系，能把一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多项式函数，由此泰勒公式成为了把复杂变简单的有力工具。所以我们可以使用泰勒公式来确定无穷小的阶，极限，以及不等式与等式的证明等。在高等数学中，证明不等式的方法很多。有时在欲证不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于根据题设的条件来选择要展开的函数、在那一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项的形式。在证明已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式先直接写出的泰勒展开式，然后在具有二阶或二阶以上连续导数的前提下，一般先作輔助函数进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理。举个例子，在利用泰勒公式证明代数不等式时，我们将不等式化简，我们要构造函数，利用泰勒公式将不等式转化成不等式组，再利用泰勒公式展开求解。

4.证明中值公式

若欲证的结论是至少存在一点代数式，则可以考虑使用辅助函数法，辅助函数由定理的结论即得命题的证明。即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式，用积分法求出原函数，通过移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x就可以直接将被积函数设为辅助函数，即可以解出此题。

总之，泰勒公式不仅在理论上占有重要的地位，而且在函数敛散性的判断、近似计算、极限计算、等式与不等式的证明、等方面有重要 的应用。在解题训练中要把握处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。

参考文献

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