马天麒赵靖宇

(清华大学航天航空学院，北京100084)

由机械能守恒给出第二类Lagrange方程的探究

马天麒1)马天麒,清华大学航天航空学院钱学森力学班2015级学生.E-mail:matq15@mails.tsinghua.edu.cn赵靖宇2)赵靖宇,清华大学航天航空学院钱学森力学班2015级学生.E-mail:zhaojing15@mails.tsinghua.edu.cn

(清华大学航天航空学院，北京100084)

保守系统的运动微分方程，可以使用第二类Lagrange方程列写，从Langrage方程也可以推导出保守系统的机械能守恒.有老师提到，曾有学生在作业中用机械能守恒给出正确的Lagrange方程.本文探讨这种做法的可行性，并针对某些特殊情况给出了由机械能守恒得到Lagrange方程的具体步骤.

机械能守恒,第二类Lagrange方程，保守系统

1 问题的导入

以椭圆摆为例，来说明本文研究的求Lagrange方程的方法.如图1所示，取两物块质量分别为m1和m2，物块1的位移为x，摆与竖直方向的夹角为θ.摆的长度为l，质量不计，则

由Lagrange方程可以很容易地求得系统的运动微分方程

图1

这种方法究竟是否具有普适的正确性？操作步骤又该是什么样的？本文将从Lagrange方程出发，试着探讨在什么情况下，用这种“能量求导”的方法，可以得到正确的微分方程，并具体讨论了从能量守恒得到Lagrange方程的方法.

2 由机械能守恒给出Lagrange方程的方法

对于保守系统，机械能是一个守恒量，即E= T+V=const.且由于保守系统的约束必是理想、完整、定常的，则有

即aij是关于广义坐标q1,q2,···,qk的函数，且观察表达式可得aij=aji.此时Lagrange方程可以写为

现将式(7)代入式(9)得

接下来再来看机械能守恒，即

事实上，由分析力学知识可知，在推导广义能……