刘 洋， 潘 斌

(辽宁石油化工大学 理学院，辽宁 抚顺 113001)

一类高阶差分方程的无穷多非振荡解

刘 洋， 潘 斌

(辽宁石油化工大学 理学院，辽宁 抚顺 113001)

研究了一类高阶非线性中立时滞差分方程，通过使用巴拿赫压缩映射原理，得到了该方程存在无穷多个有界非振荡解的充分条件，所得的结论改进了已有文献的结果。

无穷多有界非振荡解； 高阶中立型时滞差分方程； 压缩映射

随着计算数学、计算机工程、自动控制技术等学科的迅速发展，差分方程理论在现代物理学、医学、经济学等领域得到了越来越广泛的应用。学者们对于差分方程解的存在性的研究也越来越多[1-6]。针对各类差分方程，学者们也做了相应的研究，如:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

本文考虑如下的高阶非线性中立型时滞差分方程:

(11)

1 无穷多个有界非振荡解的存在性

差分方程(11)的无穷多个有界非振荡解存在的充分条件。

定理1 假设存在常数M、N，且满足N>M>0，数列ain}n≥n0(1

(12)

(13)

(14)

则方程(11)在A(M,N)上有无穷多个有界非振荡解。

(15)

(16)

(17)

(18)

对∀x∈A(M,N)成立。

对∀x∈A(M,N)和n≥n0，由式(13)和式(16)，得：

现在只需证明TL是A(M,N)上的一个压缩映射。由式(12)和式(17)可知，对∀x,y∈A(M,N)，∀n≥n0，得：

即证TL是A(M,N)上的一个压缩映射。由巴拿赫压缩映射原理可知，TL必有唯一的不动点x∈A(M,N)，并且该不动点就是方程(11)的一个有界非振荡解。对∀n≥N0+d得：

即：

……

因此，x为差分方程(11)的一个有界非振荡解。

即证x≠y。定理证毕。

2 结 论

例1 考虑如下的四阶非线性中立型时滞差分方程：

(19)

取M=1,N=2，容易验证方程(19)满足定理1所需的条件。因此，由定理1可得，方程(19)在A(1,2)上存在一个非振荡解。

文献[3-5]和文献[7-16]中的结果都不能用于方程(19)，因此本文所做的研究改进了现有文献中的相关的结论，是有意义的。