王金聚

摘要：高空中物体的重力势能该如何表达，本文通过缜密推理，给出了几种表达形式，并指出了一些常见的错误认识.

关键词：高空物体；重力势能

物体在地球表面附近的重力势能表达式为Ep=mgh.若物体离地面的高度h足够大，则h高处的重力加速度g′与地表附近的重力加速度g会有明显的不同.本文介绍选取地球表面为参考平面情况下物体的势能表达式.

如图1所示，用M表示地球的质量，R表示地球的半径，m表示物体的质量，r表示物体距地心的距离，依据重力做功与重力势能变化的关系，物体从地面升高到h高处克服重力做了多少功，物体就具有多少重力势能.

∴Ep=W-∫R+hRGmMr2dr=GmMR-GmMR+h=GmMhR（R+h）.

在学生积分知识还未触及的情况下，我们还可以借助“微元法”来推导上述引力势能的表达式，过程如下：

由于物体在上升的过程中所受地球的引力在不断减小，这就牵涉到要计算克服变力做功的问题，为此，我们把物体从地表到h高处的这段距离分割成无数个相等的小段，每一段的长度Δr都足够小，如图1所示，图中r1、r2、r3……分别表示各分割点到地心的距离，每小段的高度Δr= r1- R= r2- r1= r3- r2=……，物体在升高过程中经过每一段Δr需克服引力做功的值分别记为ΔW1、ΔW2、ΔW3……

在第一段Δr上物体需克服地球引力所做的功为ΔW1=GMr2（r1-R），其中地球引力GMmr2在物体从R升高至r1的过程中不断减小，所以应取该过程中的平均值，该平均值介于GMmR2～GMmr21之间，在Δr都足够小的条件下，我们可以把该平均值近似地写成GMmRr1，由此在该段上物体克服引力所做的功就可以写成ΔW1=GMmr1R（r1-R）=GMm1R-1r1，同理可得：ΔW2=GMm1r1-1r2，ΔW3=GMm1r2-1r3，……ΔWn=GMm1rn-1-1rn，……

将上述各等式两边分别相加求和，即可得整个过程中物体克服引力所做的功为

W=∑∞i=1ΔWi=ΔW1+ΔW2+ΔW3……

=GMm1R-1r1+GMm1r1-1r2

+GMm1r2-1r3+……=GMm1R-1rn

由功能关系可知在离地面高h处的物体所具有的重力势能应为

Ep=W=GMm1R-1R+h=GMmhR（R+h）（1）

设地球表面处的重力加速度为g，高h处的重力加速度为g′，则

GMmR2=mg（2）

GMm（R+h）2mg′（3）

结合（1）、（2）、（3）式可知，在选地面为参考平面的情况下，物体在h高处所具有的重力势能可表示为

Ep=GMmhR（R+h）=mgRhR+h=mg′h（R+h）R（4）

由（4）式不难看出mg′h

由（2）、（3）两式联立可得g′=RR+h2g（5）

结合（5）式可推出势能的平均值为

EP=mgh+mg′h2=mgh（2R2+2Rh+h2）2（R+h）2（6）

由（4）、（6）兩式可得

Ep-EP=mgRhR+h-mgh（2R2+2Rh+h2）2（R+h）2

=-mgh32（R+h）2<0，所以Ep

实际上，我们利用（2）、（3）两式可大致画出物体所受的引力随物体到地心距离的关系图象，如图2所示，若以地面为参考平面，由功能关系可知物体在h高处所具有的重力势能对应图中阴影部分的面积，而平均势能EP=mgh+mg′h2则对应包含阴影部分面积在内的直角梯形部分的面积，显然，从图中能更直观地看出势能Ep

综上所述，高h处物体的重力势能的大小介于mg′h和mgh之间，可表达为Ep=GMmhR（R+h）=mgRhR+h=mg′h（R+h）R等多种形式.