杨经宇

笔者最近在考试和高考复习中碰到几道圆锥曲线四点共圆相关的题目，现择其充要条件这个命题进行证明。只有掌握了这个最基本的命题，其他问题也就迎刃而解。

命题： 椭圆四点共圆的充要条件是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角 。

证明：设椭圆为：mx?+ny?=1，（mn≠0）

A、B、C、D依次为曲线上的四点，两组对边为AB/CD、BC/AD，两条对角线为AC/BD，三对直线中任一对直线方程设为：

y=k1x+b1 （k1≠0）， y=k2x+b2 （k2≠0），

则过任意一对直线与椭圆的4个交点的二次曲线系方程为：

mx2+ny2-1+λ（y-k1x-b1）（y-k2x-b2）=0 （λ为参数）

整理得：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+

λb1 b2-1=0 ①

（Ⅰ）充分性证明：

当三对直线中任一对直线的倾斜角互补时，k1+k2=0，则方程①变为：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+λb1 b2-1=0

令 则：

即必存在λ0= ，使得方程①为圆的方程，

故A、B、C、D四点共圆；

（Ⅱ）必要性证明：

当A、B、C、D四点共圆，则方程①不应含有交叉项xy，

故 -λ（k1+k2）=0， ∴ k1+k2=0，

即三对直线中任一对直线的倾斜角互补。

由（Ⅰ） （Ⅱ）知，上述命题成立。

同理，可以证明双曲线四点共圆的充要条件也是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角。

利用这一命题，在做题时可以节省很多时间。如：武汉市2016年2月高三调考的数学选择题中曾出现一道题（给出的标准答案是先证明A、B、C、D四点共圆，略显复杂）：

设直线y=3x-2與椭圆Г： =1交于A、B两点，过A、B的圆与椭圆Г交于另外两点C、D，则直线CD的斜率k为（ ）。

A.- ；B.-3 ；C. ； D.-2；答案：B

参考文献：

[1]张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究[J].数学教学 2012，7.

[2] 田富德 陈琛. 圆锥曲线中一个四点共圆性质[J].中学数学研究 2014，4.

【摘要】椭 圆上四点共圆的充要条件是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线的倾斜角互为补角。本文用较简单的方法对这一命题进行了证明。恰到好处地利用这一命题，会节省考试中的宝贵时间。

【关键词】 圆锥曲线； 四点共圆；充要条件； 高考复习；

个人简介： 男，1997年10月出生，湖北省水果湖高三学生，数学课代表。自幼爱好数学，喜欢对一些数学问题进行探究。