梁金华

【摘要】洛必达法则是求极限的一种重要而有效的方法.在教学实践中，笔者发现传统的教学安排教学效果并不好.本文分析了其中的原因，并针对工科学生的特点对洛必达法则的教学进行了深入研究，采用“先使用，后证明”的教学方式进行教学，并对洛必达法则使用中容易出错的地方进行了分析和改进.

【关键词】高等数学；洛必达法则；教学研究

高等数学的通用教材是同济大学数学系编写的《高等数学》，该书目前已是第七版.这本教材条理清晰，数学逻辑强，但有时完全按课本的安排教学效果并不是最好的.比如在讲“导数的应用”这一节的内容时，洛必达法则的教学通常是定理介绍→定理证明→定理的应用，这样的顺序是数学思维发展的要求，对数学的学习是合理而且科学的.奇怪的是，照这样的顺序来教学，教学效果并不好.

不妨来分析一下原因.按照课本的安排，我们至少需要一个课时的时间来给出定理的内容，并对定理进行证明.而洛必达法则的证明要用到柯西中值定理，对学生而言，并不是很容易理解.当学生集中注意力来听完一个证明，大家的思想普遍会有一个放松，待第二课时来介绍定理的应用，学生的注意力明显没有第一课时那么集中，很容易只顾表面，而忽视洛必达法则的使用条件.一个课时要介绍洛必达法则在各类未定式求极限中的使用，时间紧，内容多，学生不容易完全接受，这是造成教学效果不好的主要原因.

对理工科的学生而言，应侧重于例题的讲解和练习.

在洛必达法则的引入上，为了能激发学生的兴趣，可以借用文学里常用的“倒叙”手法，先使用，后证明.

先给出一个“00”例题，让学生去求极限.

例1求limx→asinx-sinax-a.

在大家费了九牛二虎之力求出答案后，教师直接把分式极限转化为对分子分母各自求导后再求极限.求解如下：

limx→asinx-sinax-a=limx→acosx1=cosa.

这时大部分学生都会很吃惊，进而就会产生兴趣，想弄明白为什么可以这么求.

先不作证明，接下来再给一个“∞∞”的例子，要求学生去求极限.

例2求limx→+∞lnxxn.

这个题用以前学过的方法比较困难.这时部分学生会使用以前的方法求，部分学生会依葫芦画瓢，把题目转化为分子分母各自求导后再求极限.最后学生发现两种方法求出来结果是一样的.学生会更吃惊，学习的兴趣也就更浓.

这时再引出定理1和定理2，并对定理进行分析和证明.重点强调定理的条件：

（1）limx→af（x）=0（或∞），limx→ag（x）=0（或∞）；（2）f（x）和g（x）在x=a的某个去心邻域内可导；（3）limx→af′（x）g′（x）=A（或∞）.则limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），x→∞时定理同样成立.

并注意定理的延伸，可以提问：“若一次求导后不能求出极限而又满足洛必达法则的条件又该怎么做？”引导学生得出limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=limx→af″（x）g″（x）=….

注意强调反复使用洛必达法则的条件.此时学生对洛必达法则的使用已经有了清晰的认识，可以回到刚才给出的例题，结合例题，分析巩固使用洛必达法则求00和∞∞两类最基本类型的极限.

第二个课时，则是洛必达法则使用的拓展.00和∞∞是最基本的类型，除了这两种，还有0·∞，∞-∞，00，∞0，1∞等类型的未定式.對这些未定式可以采取经过恒等变形，化成00和∞∞后再使用洛必达法则.通常分为三类来处理.

（1）0·∞型.根据“无穷小的倒数是无穷大”化成00或∞∞型，再使用洛必达法则.转化遵循“复杂置上”的原则，即形式复杂、求导复杂的函数放在分子上，形式简单，求导容易的函数放在分母上，尽可能保证分母部分求导简单.这样可以减少计算错误.

（2）∞-∞型.这通常会出现分式运算，如果没有分式要尽可能转化为分式，通分后进一步转化为00型，再使用洛必达法则.

（3）00，∞0，1∞也称幂指类型，是使用洛必达法则中较为复杂的类型.课本上的方法是“先取对，求极限，再代值”，但使用这个方法时，经过繁杂的运算，很多学生会忘记“代值”这一步，求出对数的极限后就以为得到了答案，因此常常出错.事实上，为了避免代值，这种类型的题我们可以根据指数函数和对数函数的关系做恒等变形，再利用连续函数的性质，一步到位，解法更为简捷.

洛必达法则在求极限的问题中占有很重要的作用，方法虽好，但不能滥用，在洛必达法则的教学中，有两点要注意强调.

（1）使用前判断是否满足定理的条件.如课本134页例2，每次使用洛必达法则前都要判断是否是00或∞∞型，否则不能用；（2）有的式子极限存在，但不能用洛必达法则，我们称之为“洛必达法则失效”.

例如limx→∞x+sinxx，它的极限存在，而使用洛必达法则，极限不存在.这是因为使用时违背了定理的第三个条件limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），因此洛必达法则失效了.由于正弦函数和余弦函数的特殊性，sin′x=cosx，cos′x=-sinx，一般而言，当x→∞，出现sinx，cosx，或当x→0，出现sin1x，cos1x，都不能使用洛必达法则.