江苏省张家港高级中学 张新秀

对称美在高中数学解题中的应用

江苏省张家港高级中学 张新秀

罗丹说过：“生活中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛。”对称美是数学美中最典型的代表之一，教学中如果能够带领学生去发现隐藏在数学问题中的对称美，将能够冲淡学生学习数学时的枯燥感，增强学习数学的兴趣。在教学中，我常常在以下几个方面培养学生在解题中感受和发现对称美的意识：

一、运用数学图形的对称美寻求解题思路

图形的对称美常常体现在对称轴和对称中心。无论是一个图形本身的自对称，还是两个图形之间的互对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，而对称中心则是任意两个对称点的中点。抓住了对称的本质，就抓住了解题的关键。

例1 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（7.5）= __________。

解析：∵f（x）是定义在R上的奇函数，点（0,0）是其对称中心，

又∵f（x+2）=-f（x），即f（x+1）=f（-x），

∴x=1是y=f（x）的对称轴。

∴y=f（x）是以2为周期的函数，

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5。

评析：函数奇偶性即函数对称性，正确应用对称性导出周期性，是解题的关键。

二、运用数学关系的对称美寻求解题方法

数学中存在着很多“对称”关系：乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等。利用对称关系来构造辅助项，能得到较为巧妙的解题思路。

例2 计算p=sin10°sin30°sin50°sin70°。

解析：利用三角函数中的正弦与余弦的对称关系，构造一个与p对称的关系式：

设q=cos10°cos30°cos50°cos70°，则：

pq=（1/2）4sin20°sin60°sin100°sin140°=（1/2）

cos70°cos30°cos10°cos50°=（1/2）4q，

评析：这里为求p而巧设q，解法巧妙，呈现了均衡的对称美，令人愉快。用对称美的观点去审题、解题，有利于培养学生的综合能力，挖掘题目的内在规律，从而抓住本质，变难为易，轻松地解答数学题。……