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关于解“鸡兔同笼”问题“假设法”的思考

2017-03-20刘慧

数学学习与研究 2017年4期
关键词:鸡兔同笼教学思考

刘慧

【摘要】总结学生用“假设法”解“鸡兔同笼”问题暴露出的三方面的问题与疑惑;分析了通常对“假设法”理解与应用的不足之处:假设不明确,限制了问题模型的应用范围和学生的思路,影响学生发散思维能力的发展,假设不符合学生的认知特征;指出造成这些问题的原因是对“假设法”理解偏颇造成的,并探讨了这种解法的实质是根据已知条件,先推测与估计,提出猜想,做出假设,然后验证假设,进行调整直至符合已知条件的过程.

【关键词】鸡兔同笼;假设法;教学思考

“鸡兔同笼”问题不仅是教师举行公开课和参加优质课评比时钟爱的教学内容,也是教研活动的主要研究对象.笔者听了几堂关于该问题精彩纷呈的优质课,备受启发,但课后调查发现大多数学生并不理解“假设法”.今不揣冒昧提出来,并探究其原因,以此就教于同行和专家学者.

一、用“假设法”解“鸡兔同笼”问题时暴露出的问题与疑惑

一是,学生不知道怎样假设,甚至对教师做出“假设全是鸡(兔)”感到不可思议,往往纠结于全是鸡(兔)还是鸡兔同笼吗?二是,有的学生虽然能仿照教师的解法做出假设,但不清楚为什么这样假设;三是,有的学生做出假设后不知道如何处理,就是会做的学生也只是机械地套模式,说不出为什么这样处理.

笔者认真研究了涉及“鸡兔同笼”问题“假设法”的诸多文献,发现这三个问题都是对“假设法”的理解存在不足造成的,故对其作一探讨.

二、有关文献中“假设法”的含义及存在的问题

(一)有关文献中“假设法”的含义

在诸多文献中,明确给出“假设法”含义的并不多.笔者查到的最为全面的表述是:“假设法就是先假设全都是鸡(或兔),然后根据由假设得到的腿数与实际腿数的差,就能求出兔(或鸡)的只数.”文中还就“假设全是鸡”的情况进行了举例说明.但结合诸文献有关例题解法的过程来看,人们对“假设法”的表述与应用与该文献的界定类似.为方便,我们把该文献对“假设法”的界定称为“习惯性界定”,也把其中的例题呈现于下,作为本文的例题.

例1鸡兔同笼,有12个头,30条腿.鸡、兔各几只?

(二)“假设法”的“习惯性界定”存在的问题

1.假设不明确

“全都是鸡(或兔)”指的是鸡(兔)的全部头,还是全部腿?从该文献的后续语言及给出的例题解法可推知,应是指全部头都是鸡(兔)的头.当然,也可以指只数,不少文献中也确实明确指出了是只数.可例题没有只数这个已知条件.当然,鸡、兔头数与只数一一对应,知道多少个头就知道有多少只,但这样理解便导致了以下两个问题.

首先,限制了“鸡兔同笼”问题模型的应用范围.

例2一辆三轮车拉2吨货,一辆四轮车可拉4吨货.这两种车若干辆,共有36个车轮,拉了32吨货.问两种车各多少辆?

这个问题也属于“鸡兔同笼”问题.不妨把车轮数当成腿数,拉货吨数当成头数(反之亦可),这样可把三轮车当成2个头3条腿的“怪鸡”,把四轮车当成4个头4条腿的“怪兔”,用“假设法”可给出如下解法.

解假设32吨货都是三轮车拉的,则有32÷2=16(辆)三轮车,有3×16=48(个)车轮,比实际车轮多48-36=12(个).一辆四轮车拉的货可换成2辆三轮车的,车轮多3×2-4=2(个)车轮,需要把12÷2=6(辆)四轮车换成三轮车,所以四轮车有6辆.从而,三轮车有(36-4×6)÷3=4(辆).

由此可见,倘若“假设全都是鸡(或兔)”是指总只数,该例就不能用“假设法”来解了,限制了该问题模型的应用范围.

其次,限制了学生的思路,影响学生发散思维能力的发展.

若“假设全是鸡(兔)”是指总只数,则根据假设,应该给学生留下两个思考的方向.

其一,根据由假设得到的腿数与实际腿数之差,求出兔(或鸡)的只数.此思路是很多文献中的思路,不再赘述与举例.

其二,根据由假设得到的头数与实际头数之差,求出兔(或鸡)的只数.可这与“惯性界定”的方向不符.难道此方向行不通?不然.下面,以例1为例给出按此方向进行思考的两种解法.

解1假设全是鸡,则有30÷2=15(个)头,比实际多的15-12=3(个)头就是兔子头.因为,每只兔子4条腿,被算成了4÷2=2(个)头,多算了一个头.所以,兔有3只,鸡有12-3=9(只).

若只写算式30÷2-12=3(只),12-3=9(只).这正好是《孙子算经》中给出的方法,多简单啊!

由上可知,应用“假设法”讲解“鸡兔同笼”问题时,假设最好明确说明“全部头(腿)都是鸡(兔)的头(腿)”,这样可扩大“鸡兔同笼”问题模型的应用范围.在头与只数一一对应的情况下,假设如不区分头和腿,默认代表只数,也应引导学生从上述两方向进行思考,以促进学生发散思维能力的发展.

2.“假设全是鸡(兔)”不符合学生的认知特征

上面提到,不少学生对解“鸡兔同笼”问题时“假设全是鸡(兔)”感到不可理解.事实上,从生活角度讲,两种东西混在一起,恐怕没有人会做出全是某一种东西的初步判断,不然,必会成为笑话.因这违背了人们生活化的常规思维,不符合学生的认知特征.所以,學生说出“明明有鸡有兔,偏偏假设全是鸡(兔).郁闷啊”的话就理所当然了,这是其心情无奈与不解的体现.

三、“假设法”的实质

之所以出现上述问题,笔者反复研究了诸多资料,发现其重要原因是对“假设法”理解的偏颇造成的.其实,无论是哲学方法论中,还是《现代汉语词典》中都没有“假设法”,它主要出现在中小学教学研究类文章中.但关于“假设”一词,词典和哲学上都认为“假设”是以事实或科学理论为依据,在观察和分析的基础上,对客观事物做出的推测性(假定)说明或预见,即猜想.其科学性有待于实践检验和科学论证,必要时还得进行调整,使其符合实际情况或已知条件.由此看来,平时人们所说的“假设法”,其实质应是:根据已知条件,先推测与估计,提出猜想,做出假设,验证假设,进行调整直至符合已知条件的过程.

基于此,教师教学“鸡兔同笼”问题时,若引导学生根据题目的条件,在自己思考的基础上做出初步的估计或猜测,做出假设,再进行验证与调整,直至符合题目的条件,不仅符合学生的认知特征,所存在的问题也会迎刃而解了.

事实上,假设题目范围内合理的头(腿)数为鸡(兔)的头(腿)更合情理.就本文中的例1而言,可以假设0~12之间的任意一个整数为鸡(兔)的头数或只数;也可假设0~30之间的任意一个整数为鸡(兔)的腿数(假设0~30之间的任意一个2的倍数为鸡的腿数或4的倍数为兔的腿数更方便).而“假设全部头(腿)数为鸡(兔)的头(腿)”只是上述合理假设的特殊情况,这可通过让学生比较不同假设获得的解题过程简单与否,进而优化解题过程来获得.

下面,仍以例1为例,给出两个解法进行说明.

解2假设有7个鸡头,则有12-7=5个兔头,共有腿2×7+4×5=34(条)腿,比实际多34-30=4(条)腿.一只兔比一只鸡多4-2=2(条)腿,所以,多假设了4÷2=2(只)兔,故兔有5-2=3(只),鸡有12-3=9(只).

解3假设有8条兔腿,则有30-8=22条鸡腿,共有腿22÷2+8÷4=13(个)头.比实际多13-12=1(个)头.因一只兔比一只鸡多4-2=2(条)腿,把一只兔当鸡来算就多算了一个头.所以,少假设了4×1=4(条)兔腿,故兔有(8+4)÷4=3(只),鸡有12-3=9(只).

需特别指出的是:有的学生一旦给出假设,可能碰巧直接给出问题的答案.

这有可能是学生进行分析与估计的结果,也有直观猜测的可能.倘若真的出现这种解法,也未尝不可,只要验证无误就行.有的教师对这样的解法可能不给学生分,其实是受假设全是鸡(兔)习惯的束缚,以及没有真正把握假设的实质造成的.

笔者认为,让学生体验解“鸡兔同笼”问题时,先推测、估计—提出猜想—做出假设—验证假设—调整直至符合已知条件的过程,不仅能促进学生思维能力、创新能力的发展,还体现了学生为主体的教育理念,以及教师疏而不堵、放而不散的主导价值.管窥之见,请予斧正为盼!

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