☉江苏常熟市第一中学 龚艳芳

预热问题铺平垫稳，迎难而上讲评难题
——记叙一道中考模考难题的讲评设计

☉江苏常熟市第一中学 龚艳芳

中考复习中师生都会面临“大量”模考试题，而每份模考试卷中总会有命题者精心布局的把关题，这些把关题往往也很奏效，每场模考或练习下来，基本上是“全军覆没”，接下来就是教师“上场”讲评，如果满足于公布并核对答案，当然也能很快让这些把关难题“一带而过”，然而如果深入研究和备课，往往会使一些把关题背后的一串问题得到挖掘，也使得这些模考难题在教学中没有“轻轻滑过”，追求更有深度的讲评效果.本文记叙一道模考难题的讲评设计，并跟进相关教学思考，供研讨.

一、模考难题与思路简述

模考题：如图1，过原点的抛物线的顶点为M（-2，4），与x轴的负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q.若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标是____________.

图1

思路简述：容易求出抛物线的解析式为y=-x2-4x，构造草图想清问题的求解目标其实是：如图2，当点P1落在抛物线对称轴的左侧时，射线MP1交x轴于C，有∠CMA=∠AMB，如果能求出点C的坐标，则可解出直线MC的解析式，与抛物线的解析式联立，则可确定点P1的坐标；还有另一种情形，当点P2落在抛物线对称轴的右侧时，构造图3分析，有∠P2MA=∠MAB，设射线MP2交x轴于D点，如果能求出点D的坐标，则可确定直线MD的解析式，类似地，与抛物线的解析式联立，可确定P2点的坐标.

图2

图3

二、模考难题讲评的教学微设计

教学环节（一）预热问题两道.

题1：如图4，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC.

图4

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标.

预设问题串：

问题1：你准备怎样求抛物线的解析式？你为什么选择设解析式的方法？还有哪些不同的设法？

问题2：为了求点D的坐标，你觉得可以有怎样的思路？（学生可能是先求直线CQ的解析式，然后再将直线CQ的解析式与抛物线的解析式联立）

问题3：有人觉得求直线CD的解析式的关键是求Q点的坐标，你觉得怎样求Q点的坐标？（连接AC，利用“双垂直”基本图形，在Rt△ACQ中思考，利用相似或射影定理可得CO2=OQ·AO，从而求出Q点的坐标）

问题4：有人没有求Q点的坐标，也求出了直线CD的解析式，你觉得还有什么方法？（先求出直线AC的解析式，然后根据直线CD、AC之间的垂直关系，可以看出它们的解析式中的一次项系数具有负倒数关系，再结合点C的坐标可确定直线CD的解析式）

图5

预设问题串：

问题1：你准备怎样求出点P的坐标？要注意取舍吗？（预设：P（1，-3））

问题2：如图6，当点D在抛物线对称轴的左侧时，满足∠DPO=∠POB，此时PD与x轴有怎样的位置关系？你能快速确定此时点D的坐标吗？（预设：由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，结合P（1，-3），得D（-1，-3））

图6

图7

问题3：当点D在点P的右侧时，如图7，即图中D2，则∠D2PO=∠POB，延长PD2交x轴于Q，图7中有等腰三角形吗？为什么？（预设：可发现QO=QP，所以△POQ是等腰三角形）

教学环节（二）难题讲评.

模考难题讲评：如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=-x2-4x与x轴的负半轴交于点A，对称轴与x轴的交于点B，点C是抛物线上一个动点，过点C作CD⊥MA于点D.若△MCD与△MAB相似，求满足条件的点C的坐标.

图8

图9

预设问题串：

问题1：构造图8、图9分析，在这两种可能的图形中，过点C作出CD⊥MA于点D，能否满足△MCD与△MAB相似？请说明理由.

问题2：在图8中，你有哪些方法求点C1的坐标？（预设：利用角平分线性质，MA平分∠EMB，则AE∶AB=ME∶MB，可设AE=m，则EM=2m，于是在Rt△BME中，（m+2）2+ 42=（2m）2，于是可确定点E的坐标，从而求出直线ME的解析式，再将ME的解析式与抛物线的解析式联立确定点C1的坐标；还可以过点A向ME作垂线段，构造“一线三直角”模型求解）

问题3：在图9中，∠FMA与哪个角相等？为什么？（预设：学生辨析出∠FMA与∠MAB相等时，才能出现△MCD与△MAB相似）

问题4：图9中，如何求出点C2的坐标？（预设：设MF= n，在Rt△MBF中，利用勾股定理得出关于n的方程，可确定n的值，从而得出F点的坐标，类似地，求出直线MF的解析式，再与抛物线的解析式联立，求出C2点的坐标）

问题5：将图8、图9中的两条符合要求的直线ME、MF画在同一个图中，如图10，同学们发现直线ME、MF有怎样的位置关系？为什么？（预设：ME⊥MF，并且据它们的垂直关系，又会增加一些求解思路，可引导学生深入思考，发现不同的解题路径）

教学环节（三）变式再练.

变式题：（供听课检测使用）如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=-x2-4x与x轴的负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B.

（1）直接写出顶点M的坐标.

（2）求tan∠AMB的值.

（3）点C是抛物线上一个动点，过点C作CD⊥MA于点D.

①当点C、点A关于直线BM对称时，求CD的长；

②设直线MC交x轴于E，当tan∠MCD=2时，求点E的坐标；

③若△MCD与△MAB相似，求满足条件的点C的坐标.

图10

三、关于难题解题教学的进一步思考

面对难题的教学，我们首先要辨析该题是否有深入研究的价值，功利一点看，即其是否为本地区中考考查的重点；从学生数学核心素养的发展来看，它能否反映数学本质，对发展学生数学思维有没有作用；等等.我们深入思考时，还可从如下一些方向追问自己，比如：

1.怎样突破这道试题的思路？有哪些不同的解题途径？

2.解题教学时可以设置怎样的预热问题，以便学生更好地“迎难而上”？

3.解后如何引导学生反思？思路如何能自然而然地发生？

4.可以收获哪些解题经验或模式？

5.还有哪些考题有类似的结构？

6.这道试题可以怎样包装、命制出一道含3个小问、层层“递进”的压轴题？

……

经常对一些难题自发开展上述追问或研究，我们对难题的思考也就能达到一个新的高度，也能带领学生更好地理解难题，挑战难题，从容应对难题.

1.王秀梅.习题课教学：从“拿来主义”走向编题变式——以“数轴再认识”习题课为例［J］.中学数学（下），2016（10）.

2.朱金祥，刘东升.数学教学中例题变式的策略——基于教学追问的视角［J］.教育研究与评论（中学教育教学版），2016（09）.

3.孟慧.几何综合题研究：从思路贯通到教学微设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

4.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.