☉江苏海安县城南实验中学 刘东升

让开放题引领开放的数学教学

☉江苏海安县城南实验中学 刘东升

我们知道，开放题在21世纪之初在我国数学教育界得到了重视.比如，郑毓信教授曾写作系列“开放题与开放式教学”的文章（详见文1和文2），倡导从开放题研究走向开放式教学；2007年郑教授又将之前提出的“开放式教学”修正为“开放的数学教学”（详见文3），并较为全面地分析了“开放的数学教学”的具体涵义，这就是教学思想、教学方法、教学目标等不同层面的开放性.然而以笔者所见，近十五年来虽也有一些针对开放题命题的研究，或者开放的数学教学模式的口号与简单的案例研究，但是整体上开放题与开放的数学教学研究仍然较为沉闷.比如，笔者关注的中考命题研究领域，质量较高的开放题还偏少；数学课堂上还充满着各种“控制”，各级赛课中教学设计过于精致化、例题和习题的呈现密不透风，都与开放的数学教学追求相去甚远.为此，笔者在最近一次八年级上学期期中测试命题过程中，全卷加大了开放题考查的力度，并且3道原创题的开放角度不一，立意引领开放的数学教学.本文先呈现3道开放题，解释命题意图，跟进教学思考，供研讨.

一、原创开放题及命题意图

开放题1：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4、12、20都是“神秘数”.

（1）试分析28是否为“神秘数”.

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由.

①小成发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数.

提醒：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小成发现”的解答计分.

②小南发现：2016是“神秘数”.

命题意图：这道题源自人教版教材八年级上册习题，网上流传着这道“神秘数”考题的多种版本，但我们改编了命题呈现的方式.第（1）问先让学生初步体验28= 82-62，加深对题干中的“神秘数”约定的理解，我们还预设，如果学生在第（1）问就设元列方程求解，则对第（2）问的思路有利，这就是设28是由x和x-2两数的平方差得到的，则x2-（x-2）2=28，解得x=8，问题获解.

如果有上面列方程的经历，则第（2）①问容易列出关于k的“平方差式子”（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+ 2k）=4（2k+1），即由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍.

而第（2）②问，仍然可以列方程处理，设2016是由y和y-2两数的平方差得到的，则y2-（y-2）2=2016，解得y= 505，不是偶数，故2016不是“神秘数”.

我们给出了“提醒”，考生只需解答两个发现中的其中一个，因为这两个发现本质上是一致的，能解答一个的学生，应该已理解了问题中表述的“神秘数”，不需要让学生重复解答本质相同的问题.同时又追求了开放题的一种新形态：让学生在答题时多了一次“选择”的机会.

开放题2：某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案：

方案（一）：第一次提价a%，第二次提价b%；

方案（二）：第一次提价b%，第二次提价a%；

其中a、b是不相等的正数.

（答题说明：从以下两个问题中选择一个解答即可，其中“问题1”答对得4分，“问题2”答对得8分.）

问题1：请通过演算说明方案（一）、方案（二）提价一样.

问题2：请通过演算说明方案（三）提价最多.

提醒：本题中问题1、问题2，只需解答一个，若两个都做，按“问题1”解答计分.

命题意图：这道题源自人教版教材八年级上册“整式乘除与因式分解”一章复习题中的拓广探索题，我们只是简单改编了字母，原题是直接“分析哪种方案提价最多”，我们将设问变式为两个问题，并给出“提醒”，只要求做一个“问题”，但赋分不一样.这也是基于我们对这道考题的深刻理解，因为优秀学生如果选择挑战“问题2”，则他们是绕不开“问题1”的，也需要演算说明方案（一）和（二）提价一样.简解如下：

方案（一）：（1+a%）（1+b%）=1+a%+b%+ab%；

方案（二）：（1+b%）（1+a%）=1+a%+b%+ab%；

值得一说的是，该类题不但在八年级教材上有的是，考后有位学生家长是高中数学教师，他告诉我们高中阶段对这类问题还会跟进学习，初中安排学生重视这类问题的说理很有意义.

开放题3：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射线AM平分∠BAC.

（1）设AM交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF.有以下三种“判断”：

判断1：AD垂直平分EF；

判断2：EF垂直平分AD；

判断3：AD与EF互相垂直平分.

你同意哪个“判断”？简述理由.

（2）射线AM上有一点N到△ABC的顶点B、C的距离相等，连接NB、NC.

①请指出△NBC的形状，并说明理由；

②当AB=11，AC=7时，求四边形ABNC的面积.

图1

图2

图3

命题意图：这道题源自人教版教材八年级上册习题.初稿第（1）问准备设计“猜想线段AD与EF的关系”，因为预设到学生可能会表述不清或漏解，故将（1）设计成一个开放式问题，给学生提供选做的机会，让基础偏弱的学生也能得到一点分，而让数学能力强的、思维深刻的可以拿全第（1）问的分.

第（2）问由“基本图形”（如图2）的启示，加上第（1）问暗示过角平分线上一点向角的两边作垂线段，图中出现正方形AGNH，有△BGN≌△CHN（HL），S四边形ABNC= S四边形AHNG，设BG=x，则11-x=7+x，解得x=2，于是AG=AH= 9.所以S四边形ABNC=S四边形AHNG=92=81.

值得一说的是，因为学校期中命题教师选聘时采取了本年级教师回避的做法，命制该题时笔者正在九年级任教，教学进度正在“圆”一章，以图2为例，图中就有两个“四点共圆”的结构，一是正方形AGNH四个顶点在以AN为直径的圆上；二是四边形ABNC四个顶点在以BC为直径的圆上（如图3），这样我们可更清楚地洞察问题结构，即圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，有∠NBC=∠NAC=45°，∠NCB=∠NAB=45°，可快速确认△NBC的形状是等腰直角三角形.这样命题时我们站在“高处”想清了八年级教学时应该重视这类问题，因为学生利用全等三角形、角平分线的性质可以实现问题的解决，“未来”又会碰到，解决的工具和视角发生了变化，这种解题认识是很多数学知识学习与研究的共通之处.

二、让开放题引领“开放的数学教学”

1.尊重个体差异，让开放题引领开放的数学教学.

我们知道，“因材施教”是一项基本教学常识.近年来，笔者有幸多次参与本地区中考、县区级学年末命题工作，深知命题工作的艰辛，一份优秀试卷承载着诸多功能，不仅要达成测评的目标均分要求，还需要对不同层次学生有效区分.特别是如何尊重学生个体差异更是命题工作中的一种挑战.我们在上面使用的3道形式各异的开放题也是想让不同思维风格的学生有较好的发挥.比如，开放题1的第（2）问两种不同表征方式的设问，尊重了学生的个性差异，如果不能理解第①问、可以求解第②问，只要能答出，就说明学生对平方差公式已达到灵活运用的层次，一样能得到分数.我们通过这样的设问，也是想发挥开放题的教学引领，让我们的教学更加开放，例题呈现的方式更加丰富多样，满足不同学生的思维风格，也让优秀学生感受到具有同一类结构问题的“多元表征”.

2.提供选择机会，开放的数学教学让学生懂得取舍.

开放的数学教学如何走向开放，而不是低层次的一道例、习题有几个答案或不同的解题路径？重要的是给不同的学生提供选择的机会，并且让他们在不同的选择机会面前，拥有“取舍”的智慧.吴非先生曾说：“有时，我也会想：教学，像长途跋涉，带着一群儿童、少年，或是稚气未脱的青年，往前走，有时停下休息，偶尔也会绕点儿路，甚至会走错路；虽然我可能熟悉这段路，但我每次带着不同的人；他们最终要去不同的地方，我带领他们，直到他们有勇气踏上一段陌生的路，甚至去冒险.他们视我为同行者，抑或是智慧使徒，要在遥远的未来，当他们回望人生之路时才能判断.”笔者认为，不同学生在数学学习上，不仅在限时应答的考场，在课堂中对不同难度的问题，都要培养自己识别、研判问题难度的能力，并基于自己现场的能力所及，大胆取舍、有的放矢，逐一突破，再循序向上.从这个意义上说，北京十一学校将数学分为五级（数学1～5）给我们开放题设计与开放的数学教学带来更为现实的引领.

3.“打开一扇窗”，开放的数学教学引领学生眺望远方.

作家南帆说“散文，应该向四面八方打开.”教育学者杨九俊近年来力主“课堂，应该向四面八方打开.”想到开放的数学教学中，也应该帮助学生打开一扇窗，让他们知道“天高任鸟飞”.从这个角度看，有些数学课堂中，就题讲题，纠正答案、讲解思路，一题讲完接着讲另一题，题目与题目之间缺少关联，让学生在题海中挣扎，解题教学的品味不高，教学没有走向必要的深度.像上文中的“开放题2”，高中数学教师认为这类题很有意义，因为学生将来到高中还会“遇见”；而“开放题3”，学生在很快到来的九年级学习“圆”时就会再次“遇见”，如果学生“再遇”这类问题时，感受到这些问题都很熟悉，只是不同阶段解决的工具、视角，理解的深刻度不一样，那么开放的数学教学也就较好地发挥引领学生“眺望远方”的作用了.

1.郑毓信.开放题与开放式教学［J］.中学数学教学参考，2001（3）.

2.郑毓信.再论开放题与开放式教学［J］.中学数学教学参考，2002（6）.

3.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

4.课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育教科书数学八年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.吴非.课堂上究竟发生了什么［M］.北京：中国人民大学出版社，2015（6）.

6.杨九俊.学科育德不只在说教中［J］.中国德育，2011（11）.