☉湖南娄底市第五中学 伍 歆

一道“平行线性质”习题的探究性学习

☉湖南娄底市第五中学 伍 歆

课本中的习题都是教学材料中的精品，具有很强的典型性和示范性.在教学中，经过合理的变化，往往可以生产许多内涵更丰富、价值更高的问题.教师在使用习题素材时，不妨以一种预期的、反思的眼光利用习题，有意识地引导学生，从一个思维点出发，沿不同方向，提出各种途径，和学生一起进行“探究性学习”.本文介绍一个案例.

湘教版七年级下册第89页A组第3题：（以下简称原题）

如图1，若AB∥CD∥EF，∠B= 45°，∠F=40°，求∠BCF的度数.

这是一道很简单的习题，如果就题论题，这道题一下子就解决了，但是隐藏在本题中的“构造辅助线，探寻角度间的数量关系”等知识就被丢弃了.

图1

一、构造辅助线，探寻角度间的数量关系

变式1：如图2，若AB∥EF，那么∠ABC、∠CFE、∠BCF有何数量关系？为什么？

分析：在原题的启发下，学生马上想到构造辅助线，利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到这三个角的数量关系.

图2

图3

解：如图3，过C作CD∥AB.

则∠1=∠ABC.

由CD∥AB，AB∥EF，得CD∥EF.

则∠2=∠CFE.

又∠BCF=∠1+∠2，则∠BCF=∠ABC+∠CFE.

二、渗透分类讨论思想

近几年中考压轴题往往需要学生进行分类讨论才能解决，但是学生在做这类题时，往往不知道怎样进行分类或分类讨论不周全，导致得分率偏低.究其原因，主要是平时的教与学中，对分类讨论这种数学思想渗透得不够，学生运用起来不熟练.小学数学问题，答案往往是唯一的，导致学生思维单向性倾向明显，从初一的教学中就开始渗透分类讨论思想，可以循序渐进地培养学生思维的连续性、有序性和全面性，对养成学生严谨的思维品质大有裨益.通过对原题进行变化，就生成了一道“根据图形的位置变化分类讨论题”.

变式2：已知直线AB∥EF，点C为不在直线AB、EF上一点，连接CB、CF，则∠ABC、∠CFE、∠BCF有何数量关系？为什么？

分析：对于七年级的学生，本题的难度非常大，教师可以先用几何画板，画出图形，度量出∠ABC、∠CFE、∠BCF这三个角的大小，让学生上台拖动点C，教师引导学生不重复不遗漏地进行分类，然后小组合作，经历“探究—猜想—证明”的解题过程.通过小组合作探究，出现了多种正确的分类方式.比如，按结果分成两类：第一类，其中一个角等于另两个角之和；第二类，三个角的和等于180°.按点C的位置分：第一类，点C在直线AB、CD之间；第二类，点C在直线AB、CD之外.下面展示按点C位置分类讨论的解题结果.

解：情况一：点C在直线AB、CD之间.

①如图4，点C在直线BF的左侧.

过C作CD∥AB.

则∠1=∠ABC.

由CD∥AB，AB∥EF，得CD∥EF.

则∠2=∠CFE.

又∠BCF=∠1+∠2，则∠BCF=∠ABC+∠CFE.

图4

图5

②如图5，点C在直线BF的右侧.

过C作CG∥AB.

由CG∥AB，AB∥EF，得CG∥EF.

则∠3+∠CFE=180°.

则∠ABC+∠BCF+∠CFE=∠ABC+∠4+∠3+∠CFE=180°+180°=360°.

情况二：点C在直线AB、CD之外.

如图6，过C作CH∥AB.

则∠5=∠ABC.

由CH∥AB，AB∥EF，得CH∥EF.

则∠HCF=∠CFE.

谷物促进瘤胃发育，从3日龄或更小开始饲喂谷物，3周龄时开始大量摄入谷物（0.5磅/天），断奶前 14～21天摄入谷物1磅/天或更多。断奶之前颗粒料采食量跟断奶后颗粒料采食是直接线性相关的。

又∠HCF=∠5+∠BCF，则∠CFE=∠ABC+∠BCF.

（在直线AB、CD之外改变点C的位置时，还会出现其他答案，但都是其中两角之和等于第三个角）

图6

三、启蒙动态几何问题

图形中的点、线运动构成了数学中的一类新问题“动态几何问题”，它通常分为三类：动点问题、动线问题、动形问题.动态几何问题是近几年中考中的热点问题，笔者在收集的20份2015年中考数学试卷中，经过统计发现把这类问题作为压轴题的试卷有18份.动态几何问题已经成为了中学数学教学中不可回避的一环.但是，动态几何问题是一类集几何、数与式、方程与函数于一身的问题，题型新、难度大、综合性强，对学生的空间想象能力、综合分析和解决问题的能力提出了很高的要求.解决这类问题的方法不是一朝一夕就能掌握的，所以我从现在开始，通过这节课启蒙动态几何问题中的第一类——动点问题.

变式3：已知直线a∥b，直线d分别和直线a、b交于点M和点N，在直线MN上有一动点C.

（1）如图7，若C点在M、N两点之间运动，问：∠ACB、∠CAM、∠CBN有怎样的数量关系？请说明理由.

（2）若C点在M、N两点之外运动（C点不与M、N两点重合），以上观点还成立吗？若不成立，试写出新的结论并说明理由.

分析：虽然有前面的两题作铺垫，但是学生刚接触“动点问题”，理解题意还是有困难，根据题意画出图形更难、在教学时笔者借助几何画板演示题目，帮助学生理解题意，通过度量三个角的大小，猜想三个角度的数量关系，引导学生前后联系，添加辅助线证明猜想.具体解题过程留给学生课后作为家庭作业书写，给学生充足的理解、思考、解答的时间，并通过家庭作业进一步巩固所学知识.具体讲解过程，笔者借助ppt和几何画板，用Camtasia Studio录制成一段五分钟的微视频，可以让学生反复观看，有助于学生把握动态几何题的数学本质.

解：（1）如图7，过C作CF∥a.

则∠ACF=∠CAM.

由CF∥a，a∥b，得CF∥b.

则∠FCB=∠CBN.

又∠ACB=∠ACF+∠FCB，则∠ACB=∠CAM+∠CBN.

图7

图8

（2）①点C在点M的上方.

如图8，过C作CG∥a.

则∠GCA=∠CAM.

由CG∥a，a∥b，得CG∥b.

则∠GCB=∠CBN.

又∠GCB=∠GCA+∠ACB，则∠CBN=∠CAM+∠ACB.

②点C在点M的下方.

如图9，过C作CH∥a.

则∠CAM=∠ACH.

由CH∥a，a∥b，得CH∥b.

则∠BCH=∠CBN.

又∠ACH=∠ACB+∠BCH，则∠CAM=∠ACB+∠CBN.

（四）探究性学习后的反思.

本课设计立足教材中的习题素材，把习题变形，设计成学生要探索的问题，让学生在多元化的操作过程中体验数学问题的演变过程，符合学生从特殊到一般、从静态到动态的图形认知规律，通过探究性学习渗透数形结合、分类讨论等数学思想.

本课作为“平行线性质”的一堂习题课，充分挖掘习题的价值，避免了题海战术，通过设计构建合理的教学方式，引导学生猜想归纳并证明，让习题课也能上出精彩.

图9