吴立尧，袁长清，施强

(空军航空大学 飞行器与动力系，吉林 长春 130022)

二体旋转库仑卫星编队反馈线性化滑模控制

吴立尧，袁长清，施强

(空军航空大学 飞行器与动力系，吉林 长春 130022)

为了减少在库仑卫星编队运动过程中不确定因素的影响，避免控制过程中发生抖振现象，提高控制器的稳定性、准确性，设计了适用于二体旋转库仑卫星编队的反馈线性化滑模控制方法。首先在地月系平动点L2点处附近建立二体旋转库仑卫星编队的动力学模型并进行简化，针对库仑编队动力学特性，在滑模控制中加入了线性化反馈项，保证了编队整体的鲁棒性；仿真结果证明，该方法能够使编队达到预期构型，具有良好的控制性能。

库仑卫星编队；平动点；反馈线性化；滑模控制；仿真；鲁棒性

0 引言

近年来，关于近距离(10～100 m)卫星编队飞行的研究和应用成为了航天领域的研究热点之一，King等[1]在2002年首次提出卫星库仑力编队的概念以来，库仑力编队卫星技术受到了广泛关注。所谓库仑力卫星编队技术，即控制卫星的静电荷量，通过设计适当的控制律改变航天器间相互作用静电力来控制卫星编队的构型、姿态、距离等以完成预期任务。目前库仑卫星编队飞行已成功应用到了SCATHA，ATS，CLUSTER任务中。

King和Parker[2]系统地研究了静态库仑编队平衡电量和平衡位置的求解问题。基于Hill方程，利用编队构形对称性及圆形参考轨道条件，讨论了静态库仑编队平衡电量的存在性。Berryman和Schaub[3]提出一种求解静态库仑虚拟结构稳态平衡电量的数值方法。之后两人又利用非经典哈密尔顿库仑卫星动力学方程，通过将轨道运动和姿态运动解耦，提出了应用恒定电荷量实现静态编队的必要条件[4]。

对于库仑编队系统反馈控制问题，Hussein等[5]于2007年首次研究库仑虚拟结构的反馈控制问题。考虑三结点共线虚拟结构，应用线性化相对动力学方程设计了电荷反馈控制律。Natarajan等[6-8]针对地球同步轨道的二体库仑虚拟绳系编队推导出卫星的相对距离动力学方程和姿态动力学方程，并设计了电荷反馈控制器：文献[6]在轨道径向方向将非线性动力学方程线性化，设计了电荷PD反馈控制律来稳定二体库仑编队构型；文献[7]在轨道迹向方向和法线方向采用了推力器和库仑力相结合的方式，设计了一个混合反馈控制律，并且没有引起羽流问题；文献[8]基于线性化平面外解耦模型，提出了一个只用库仑力进行控制的控制律。Inampudi和Schaub等[9-10]针对于二体库仑编队在地月平动点处推导编队动力学模型并设计了反馈控制律：文献[9]利用拉格朗日方程推导出卫星相对距离动力学方程和姿态动力学方程的一般式，设计电荷PD反馈控制律稳定构型；文献[10]考虑了环境力矩包括重力梯度力矩和太阳光压摄动。Wang和Schaub[11]研究了地球同步轨道处两卫星自旋库仑虚拟结构控制问题，设计全状态反馈电荷控制器，并应用Lyapunov稳定性理论，证明闭环系统是渐近稳定的。

目前国内在静态编队以及动态编队研究还比较少。王婷[12]分析了五星库仑编队飞行的静态构型，并设计了线性二次型最优控制律保持编队稳定。张皓和师鹏[13]在两星问题结论的基础上，通过对开环控制和闭环控制的仿真分析，给出了利用库仑力技术实现悬停轨道的实施方案。黄静[14]在Wang和Schaub[11]的基础上解决了二星编队在地月L2点附近的旋转二体库仑卫星的相对运动控制问题。首先推导了限制性三体模型下二体卫星在地-月系L2点附近的相对运动方程，进一步在抗饱和方法与反步法相结合的基础上，设计了状态限制辅助函数，解决了存在控制和状态受限的卫星相对运动变化并保持的虚拟结构控制问题。另外黄静[15]针对于平动点附近处二体绳系系统姿轨耦合控制问题，首先采用欧拉-拉格朗日方程对二体卫星建模，设计了非线性二次型最优控制器实现了对二体绳系系统的长周期稳定控制。

本文在Wang[11]的基础上，考虑在深空环境下地月系平动点L2点附近情况下，两卫星自旋虚拟结构系统的相对运动控制问题。首先推导出限制性三体模型下二体库仑卫星在地月系平动点处附近处的相对运动方程，采用反馈线性化滑模变结构控制方法设计系统控制器，为系统提供了更好的动态特性，通过仿真验证了该方法的可行性与优点。

1 问题描述

1 .1 二体库仑卫星编队动力学建模

如图1为限制性三体问题下的二体库仑卫星系统，O为地月系的公共质心，Oxyz为以O为中心的惯性坐标系，地球与月球连线绕轴Oz以角速度ω转动。令地球和月球的质量分别为M1和M2，2颗卫星质量分别为m1和m2。

图1 限制性三体问题下的二体库仑卫星系统Fig.1 Two-body coulomb satellite system

假设卫星电势小于自身等离子体动能，那么两卫星之间库仑力作用在第1颗卫星上可表示为

(1)

式中:kc为库仑常数，大小为8.99×109C-2·N·m2；Q为两带电卫星电荷乘积Q=q1q2，其中q1和q2分别为两卫星所带电荷量；L为两卫星之间相对距离；λd为德拜长度(研究表明，在地球低轨道上，德拜长度仅为毫米至厘米量级；在地球同步轨道上，德拜长度为100～1 000 m；在深空环境中，德拜长度为20～50 m);r为第1颗卫星指向第2颗卫星的向量。

两颗卫星的惯性运动方程分别表示为

(2)

(3)

式中：R01和R02分别为两颗卫星在惯性坐标系中的位置向量；G是万有引力常数，大小为G=6.674 28×10-11m3kg-1s-2；Rij分别为两颗卫星在惯性坐标系系下的相对于地球和月球的位置向量，如图1所示。

由动力学方程(2)和(3)可得两颗卫星相对运动方程为

(4)

(5)

将式(4)代入式(5)可得到

(6)

式中：与系统惯性位置向量相关的函数f1和与相对位置向量相关的函数f2分别为

(7)

(8)

1.2 模型简化

对于f1函数，在深空环境内(本文选取地月系平动点L2点处附近)，由于德拜效应的存在卫星之间的距离不宜过大，为防止两卫星之间发生碰撞，卫星之间距离也不宜过小，在本文中选取卫星之间距离为10～40 m。在文献[14]中，Wang证明了在地球同步轨道处，f1函数具有边界值，且数量级远小于f2。另外与库仑力相比，数量级仍小于库仑力。由于简化f1函数过于繁琐，此处在短期时间内可近似将f1视为干扰项。

对于f2函数，简化过程如下：如图2所示，Bereθeh为二体库仑卫星编队系统的本体坐标系，其中er为方向为第1颗卫星指向第2颗卫星的单位向量，ωθ为两星在本体坐标系内的旋转角速度，eθ为ωθ角速度切线方向。利用如下式子：

(9)

式(5)中，根据余弦公式可得到

(10)

图2 二体库仑卫星编队系统的本体坐标系Fig.2 Body frame Bereθeh

在二体库仑卫星编队高速自旋系统中，在短时间内，可忽略卫星重力梯度力矩作用力，所以可近似看作系统角动量守恒，即

(11)

(12)

综合式(8)，(10)和(12)可得

(13)

综上所述，动力学方程(6)可近似为

(14)

式中：d为包括f1函数与外界环境干扰(如太阳光压所产生的干扰)。

(15)

(16)

(17)

2 控制器设计

2.1 线性化反馈滑模控制

理想卫星间距为xd，则间距误差可表达为

e=x-xd.

(18)

设计滑模面函数为

(19)

式中：c>0。

对滑模面函数求导可得

(20)

根据反馈线性化理论，设计滑模控制器为

(21)

(22)

为防止在滑模控制过程中出现抖振现象，利用连续函数θ(s)取代符号函数sgns，则控制律式(21)可表达为

(23)

其中连续函数θ(s)为

(24)

式中:δ表示边界层厚度，为很小的正常数。

2.2 稳定性分析

定义Lyapunov函数为

(25)

对式(25)进行求导可得到

(26)

将控制律式(23)代入式(26)，可得到

(27)

此时，控制器满足Lyapunov稳定性条件，系统可以在有限时间内到达滑模面。

3 仿真校验

本节利用Matlab/Simulink对进行数值仿真，验证在深空环境中两星自旋库仑编队线性化反馈滑模控制律的有效性。

(28)

式中：r(t0)为惯性坐标系下相对位置向量。两颗卫星在惯性坐标系内初始速度为

(29)

由于在地月系平动点处L2点处附近环境干扰非常小，主要由太阳光压产生，数量级约为10-7N。在本文中假设干扰力约为[15]

d=5×10-7sin(ωst-γ)，

(30)

式中：ωs=2.462 9×10-6rad/s；γ为初始相位角，假设为15°。

仿真结果如图3～7所示。

图3 两星在平动点L2处运行轨迹Fig.3 Trajectory of two satellites at libration point L2

图4 两卫星间隔距离随时间变化曲线Fig.4 Satellite spacing distance change curve with time variation

图5 卫星间库仑力随时间变化曲线Fig.5 Coulomb force curve with time variation

图6 电荷乘积随时间变化曲线Fig.6 Charge product change curve with time variation

图7 卫星所带电荷变化曲线Fig.7 Satellite charge change curve with time variation

图3表示库仑编队系统在2 h内以地月系平动点L2点为质心的坐标系中的运动轨迹。由图可以看出，两颗卫星通过改变所带电量，从初始位置运动到间距不变的圆周运动。另外由图4可知，在设计的线性化反馈滑模控制器的作用下，库仑编队系统能够以较高的精度达到期望构型，在0.5 h左右，编队达到期望间距并稳定保持。说明本文在深空环境下，针对库仑编队特性所设计的线性化反馈滑模控制器能够使编队达到期望构型并保证系统的稳定性，充分校验了本文所提出的控制器的有效性，鲁棒性和稳定性。图5表示两颗卫星之间库仑作用力的大小，在两卫星运行初期卫星所带电荷和之间库仑力变化比较大，随着时间逐渐稳定在定值-0.07 mN以消除外界环境以及重力势能干扰。图6，7分别表示卫星所带电荷乘积和单颗卫星所带电荷量大小，由于两卫星之间作用力为引力，所以两颗卫星电荷乘积为负值，所以两卫星带异种电荷，大小相等，最后保持在2.81 μC左右。

4 结束语

本文针对于在深空环境中二体库仑卫星编队控制问题，首先推导了在地月系L2点处二体库仑卫星编队的动力学方程，根据动力学方程特点设计了线性化反馈滑模变结构控制器，滑模控制方法在控制过程中可以减少不确定因素的影响，并可以避免发生抖振现象，使二体库仑卫星编队模型以较高的精确度达到期望构型。仿真验证表明，设计的控制律有效，稳定，具有良好的鲁棒性。

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Feedback Linearization Sliding Mode Control of a Spinning Two-Body Coulomb Satellite Formation

WU Li-yao, YUAN Chang-qing, SHI Qiang

(Aviation University of Air Force, Aircraft and Power Department, Jilin Changchun 130022, China)

In order to reduce the uncertain factors of coulomb aircrafts formation movement process, avoid chattering of controlling process and increase the stability and veracity of controller, a feedback linearization sliding mode control method applied to the two-satellite formation flying at libration is designed. First the dynamics model two-satellite coulomb formation at earth-moon libration points are established and simplified, the feedback linearization is added with sliding mode control because of the characteristics of dynamics model to ensure robustness of formation. Simulation shows the method can make formation meet desired configuration with favorable control performance.

Coulomb satellite formation; libration points; feedback linearization; sliding mode control；simulation；robustness

2016-03-09；

2016-06-20 基金项目：国家自然科学基金(11372353) 作者简介：吴立尧(1992-)，男，吉林辽源人。硕士生，主要从事库仑航天器编队动力学与控制。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.015

V448.2

A

1009-086X(2017)-01-0082-06

通信地址：130022 吉林省长春市东南湖大路2222号学员11队