刘相秋，张红波

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471099；2.中国人民解放军驻中国空空导弹研究院军事代表室，河南 洛阳 471099)

一种随机振动Von Mises应力的计算方法研究

刘相秋1，张红波2

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471099；2.中国人民解放军驻中国空空导弹研究院军事代表室，河南 洛阳 471099)

针对随机振动中应力的不确定性，采用模态叠加理论推出了线性系统随机振动von Mises应力均方根值和功率谱密度的计算方法；采用该计算方法对一算例结构进行了von Mises应力均方根值和功率谱密度计算，并针对应力计算结果进行了结构随机振动疲劳分析，通过与已有试验结果的对比，验证了方法的有效性。

线性系统；随机振动；模态叠加；von Mises应力；功率谱密度；疲劳分析

0 引言

随机振动现象在自然界和工程中广泛存在，是导致很多电子器件故障和结构失效的主要原因。由于随机振动时，载荷随时间变化的规律预先无法确定，很难用确定性的时间或空间坐标函数描述，而只能用概率统计的方法描述，导致随机振动响应分析要比确定性载荷下的力学问题要复杂得多[1-6]。von Mises应力在结构失效判断、疲劳计算等过程中通常占有较重要的地位。通过随机振动响应分析，一般可直接获得结构的加速度、位移和应力分量的功率谱密度(power spectral density，PSD)函数，但是由于von Mises应力是应力分量的导出量，且为各应力分量的非线性函数，往往不能直接得到。以往随机振动中von Mises应力一般通过估算公式，或者通过计算时域应力分量，进而计算von Mises应力的方法来得到，但这些方法要么计算结果不准确，要么计算过程繁琐[7-11]。针对以往算法的缺点，本文基于模态叠加理论推导了von Mises应力均方根值和功率谱密度计算方法，并通过随机振动疲劳分析算例验证了方法的有效性。

1 随机振动von Mises应力

von Mises应力是一种基于第四强度理论的等效应力，认为材料破坏的主要原因是形状改变比能达到临界值，适用于塑性材料建立失效判据。von Mises应力σeq的表达式为

(1)

式中：σij为各应力分量。考虑到随机振动时，应力是时间的函数，式(1)还可写为如下的矩阵乘积表达形式：

(2)

式中：应力分量σ(t)=(σxx(t)，σyy(t)，σzz(t)，σxy(t)，σxz(t)，σyz(t))T；系数矩阵A为

应力分量σ(t)还可写成下列模态坐标的形式：

(3)

将上式代入式(2)，可将von Mises应力也写成模态坐标的表达形式：

(4)

还可将式(4)改写为平方的形式：

(5)

对式(5)左右两边同时取期望值，则式(5)可变为如下形式：

(6)

(7)

由功率谱密度的定义知，von Mises应力的功率谱密度如下：

(8)

式中：

(9)

式(7)和(9)为基于模态叠加理论推导出的随机振动过程中von Mises应力均方根值及应力功率谱密度计算方法，公式的应用前提是外部载荷为零均值，大多数工程中的随机振动问题都属于这种情况。由式(4)可以看出，von Mises应力的频率成分将取决于qi(t)qj(t)，因此其频率成分将包括模态频率的二倍频，这主要是由于von Mises应力的非负性造成的。

2 von Mises应力计算实例

本节针对一算例结构，采用第1节推出的计算方法，进行von Mises应力功率谱密度和均方根值的计算。结构模型为如图1所示的薄板，厚度2 mm，材料为铝，在薄板窄边上加载一随机振动激励，激励为如图2所示的加速度功率谱密度曲线，振动方向垂直于板面。通过模态计算可知结构的一阶模态频率为49 Hz,二阶模态为399 Hz，应力分布见图3。

通过给出的计算方法，式(8)和(9)，计算结构应力最大点的von Mises应力功率谱密度和应力均方根值，应力最大点的功率谱密度曲线见图4,应力均方根值为64.8 MPa。从图中可以看出，应力功率谱密度最大峰值出现在98 Hz左右，为一阶模态频率的2倍。

图1 算例薄板结构Fig.1 Plate structure for calculating

图2 随机振动激励Fig.2 Excited PSD

图3 应力分布云图Fig.3 Stress distribution of the plate

图4 应力功率谱密度Fig.4 PSD of von Mises stress

接着，采用Dirlik方法对结构进行振动疲劳寿命的计算[12-14]，材料S-N曲线见图5。通过计算得到结构的振动疲劳寿命为1 473 s。

图5 铝材料S-N曲线Fig.5 S-N curve of aluminum

从文献[15]中查阅到的7个试件疲劳寿命试验结果见表1。此外，文献[15]采用Dirlik方法进行仿真计算的疲劳寿命结果为1 011 s，其应力分布通过最大主应力频响幅值和输入的乘积得到。可以看出，该计算方法的结果与试验结果及文献计算结果较为接近。

表1 试件疲劳寿命试验结果

3 结束语

本文通过模态叠加理论推出了线性系统随机振动von Mises应力均方根值和功率谱密度的计算方法；采用该计算方法对一算例结构进行了随机振动von Mises应力的计算，并针对计算结果进行了随机振动疲劳分析，通过计算结果的对比，验证了文中方法的有效性。该方法为线性系统在随机振动条件的von Mises应力计算提供了简便的途径，在工程中可操作性强，便于进行后续的振动疲劳计算。

[ 1] 周兴广.多轴随机振动环境的疲劳损伤机理浅析[J]. 航天器环境工程,2010,27(6):723-726. ZHOU Xing-guang. Fatigue Damage Methods Under Multi-Axial Random Vibration Environment[J]. Spacecraft Environment Engineering，2010, 27(6):723-726.

[ 2] 张玉梅,韩增尧,邹元杰.随机振动环境下航天器结构强度设计方法综述[J]. 力学进展,2012,42(4):464-470. ZHANG Yu-mei, HAN Zeng-yao, ZOU Yuan-jie. An Overview of Structural Strength Design Methods for Spacecrafts in Random Vibration Environment[J]. Advances in Mechanics, 2012,42(4):464-470.

[ 3] 吴薇.机载电子设备的抗振动设计[J]. 压电与声光, 2008,30(1):19-21. WU Wei. Antivibration Design of Airborne Electronics Equipment[J]. Piezoelectrics & Acoustooptics, 2008, 30(1):19-21.

[ 4] 束立红,罗元文,朱若燕.Q235钢缺口试件随机振动疲劳寿命试验研究[J].湖北工学院学报，2000, 15(4):30-33. SHU Li-hong, LUO Yuan-wen, ZHU Ruo-yan. Fatigue Life Test and Research of Q235 Noteched[J]. Journal of Hubei Polytechnic University, 2000, 15(4):30-33.

[ 5] ZHAO Wang-wen, BAKER M J. On the Probability Density Function of Rainflow Stress Range for Stationary Gaussian Processes [J].International Journal of Fatigue, 1992,14(2):121-135.

[ 6] FRENDHAL M, RYCHLIK I. Rainflow Analysis: Markov Method [J]. International Journal of Fatigue,1993,15(4):265-273.

[ 7] 包名,尚德广,陈宏.一种新的随机多轴疲劳寿命预测方法[J].机械强度, 2012，34 (5):737-743. BAO Ming, SHANG De-guang, CHEN Hong. New Fatigue Life Prediction Method Under Random Multiaxial Loading[J]. Journal of Mechanical Strength， 2012，34 (5):737-743.

[ 8] 沙云东,郭小鹏,廖连芳，等.随机声载荷作用下的复杂薄壁结构Von Mises应力概率分布研究[J]. 振动与冲击,2011, 30(1): 137-141. SHA Yun-dong, GUO Xiao-peng, LIAO Lian-fang,et al. Probability Distribution of Von Mises Stress for Complex Thin-Walled Structures Undergoing Random Acoustic Loadings[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(1): 137-141.

[ 9] 白春玉，牟让科，马君峰.多轴应力响应下结构振动疲劳寿命预估的时域方法研究[J]. 机械科学与技术, 2013,32(2):289-293. BAI Chun-yu, MU Rang-ke, MA Jun-feng. Time Domain Analysis for the Estimation of Structure Vibration Fatigue Life Under Multiaxial Stress Responses[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2013,32(2):289-293.

[10] 陈学前,杜强,冯加权.复合载荷作用下结构的响应仿真[J].科学技术与工程,2008,8(10):2535-2538. CHEN Xue-qian, DU Qiang, FENG Jia-quan. Simulation on Structures Under Complex Loading[J]. Science Technology and Engineering. 2008,8(10):2535-2538.

[11] SEGALMAN DANIEL J, FULCHER CLAY W G, REESE GARTH M. An Efficient Method for Calculating R.M.S.Von Mises Stress in a Random Vibration Environments[J].Journal of Sound and Vibration, 2000,230(2): 393-410.

[12] 曹明红，邵闯，齐丕骞.宽带随机振动疲劳寿命的频域分析与试验对比研究[J]. 机械科学与技术,2013,32(6):839-844. CAO Ming-hong, SHAO Chuang, QI Pi-qian. Comparison of the Frequency-Domain Analysis and the Test Results for a Wide-Band Random Vibration Fatigue Problem[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2013,32(6):839-844.

[13] 张翼，杨晨，罗杨阳.随机振动载荷下导弹吊挂疲劳寿命分析[J].机械科学与技术,2013,32(11):1675-1679. ZHANG Yi, YANG Chen, LUO Yang-yang. Fatigue Life Analysis of Missile Hanging in Random Vibration Load[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2013,32(11):1675-1679.

[14] 刘龙涛，李传日，马甜.有限元仿真在振动结构疲劳分析中的应用[J]. 装备环境工程,2013,10(4):23-29. LIU Long-tao, LI Chuan-ri, MA Tian. Application of Finite Element Simulation in Vibration Structure Fatigue Analysis[J]. Equipment Environmental Engineering. 2013,10(4):23-29.

[15] HBM United Kingdom Limited. DesignLife Worked Examples[K]. Southfield,2013:181-196.

A Method of Calculating Von Mises Stress in a Random Vibration Process

LIU Xiang-qiu1，ZHANG Hong-bo2

(1. China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099, China; 2. PLA, Military Representative Office in China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099,China)

Aiming at the stress uncertainty in a random vibration process, a method of calculating von Mises stress is researched. The mode superposition method is adopted to calculate power spectrum density (PSD) and root mean square (RMS) of von Mises stress. In order to validate the method, an example is performed to calculate PSD and RMS. Based on the PSD and RMS results, vibration fatigue life is analyzed. The calculated results correlate well with the experimental data.

linear system; random vibration; mode superposition; von Mises stress; power spectrum density (PSD); fatigue analysis

2015-12-22；

2016-04-21 基金项目：航空基金(2014ZD12018) 作者简介：刘相秋(1980-)，女，吉林通化人。高工，博士，主要研究方向为结构动力学。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.008

O324; TJ76

A

1009-086X(2017)-01-0040-04

通信地址：471099 河南省洛阳市030信箱65分箱 E-mail：liuwang2824@126.com