文︳张新春

皮亚诺公理体系下的自然数运算（一）

文︳张新春

现在，在皮亚诺公理体系下，尽管已经有了自然数系，但自然数系还非常简单。我们要利用皮亚诺公理体系建立起更复杂的概念和运算。再一次提醒读者朋友，请你把你现在所有的数学知识都忘记，只记住自然数和皮亚诺五公理。我们要在此基础上一步步把运算及相应的运算定律定义推导出来，你将会看到数学是如何展开的，数学家是如何利用最简单、最朴素的定义与公理得到越来越丰富的数学内容，培养出数学的参天大树的。

1.加法

我们现在要来定义“一个自然数（比如m）加上另一个自然数（比如n）”是什么意思。

我们的办法非常简单，比如3+5，我们说3+5得到一个自然数，这个自然数就是2+5所得到的自然数的后面那个——即（2+5）的后继。但马上出现一个问题：2+5又是什么意思呢？因为只有知道了2+5是什么意思，才能确定（2+5）的后继。我们说2+5是（1+5）的后继，而1+5呢？我们说是（0+5）的后继，那0+5呢？至此我们已经无路可退，于是我们就规定0+5=5。这样一来，1+5是（0+5）的后继，也就是5的后继，是6；2+5就是6的后继，是7；3+5是7的后继，是8……

正式一点，我们可以这样写：

定义（自然数加法）：设m是自然数，定义0+ m=m。若已经定义好了n+m，则（n+）+m=（n+m）+。

这个定义所采用的方法即是数学归纳法。这里的m是任意的。对任意的m，我们要规定所有的自然数与m相加的意义，若做到了这一点，那么任意的两个自然数相加的意义就都规定了。但自然数的个数是无限的，我们如何能做到一一规定这无限多个自然数与m相加的意义呢？这里，就要用到皮亚诺公理5，即数学归纳法原理了。为了规定所有自然数与m相加的意义，根据皮亚诺公理5，我们只要做两件事：

第一件，规定0+m的意义，这个我们已经做了，我们规定了0+m=m。

第二件，假定已经有了n+m的意义，再在此基础上说明（n+）+m的意义（n+是n的后继，到现在，+有了两个意义：写在两个自然数之间，表示加；写在一个自然数后面，表示这个自然数的后继，通常不会引起混淆）。上述定义已经做好了这一工作，即规定（n+）+m=（n+m）+，简单地说，即是“后继的和等于和的后继”。

根据上面的定义，0+m还是m，1是0的后继，即0+，所以1+m就是（0+）+m，而（0+）+m=（0+m）+= m+，于是1+m有了定义。而2是1的后继，这样，2+m就是（1+m）的后继，如此下去，所有自然数加上m都有了定义。而m是任意的，于是任意两个自然数相加都有了定义。比如爱迪生问过的2+2，我们知道2是1的后继，即2=1+，于是根据自然数加法的定义，2+2=（1+）+2=（1+2）+；而1是0的后继，根据定义，1+2=（0+）+2=（0+2）+；而0+2=2，于是2+2=（2+）+，2+是3，3+是4，所以2+2=4。

简单地说，加法是这样定义的：0加一个数得它自己；1加一个数是这个数的后继数，即这个数后面那个数；2加一个数是1加这个数的后继数，也就是这个数的后继数的后继数，即它后面第二个数。类似地，3加一个数就是这个数的后继数的后继数的后继数，也就是这个数后面的第三个数……或者说，加法就是重复的后继。我们教一年级学生做加法时，有一种方法就是按这个定义做的：比如3+5，把5记在心里，往后数到第3个数：6、7、8，于是3+5=8。

以下一段的讨论主要解决一个问题，证明加法满足交换律。即证明：

加法交换律：对于任意的自然数a和b，有a+b=b+a。

我们将利用皮亚诺公理5，用数学归纳法证明这个结论。为此，我们把加法交换律理解为对任意的自然数b，以下的一系列命题均成立（用数学的行话是：固定b，对a作归纳）：

0+b=b+0，

1+b=b+1，

2+b=b+2，

3+b=b+3，

……

为了证明这无限多个命题均成立，按数学归纳法原理，我们要完成以下两项工作：

一、证明这些命题中的第一个成立。

二、再证明：若这些命题中的某一个成立，比如k+b=b+k成立，那么这个命题的下一个命题也成立，即有（k+）+b=b+（k+）（这里的k+指k的后继数）。

我们依次完成这两项工作，首先做第一件事。

证明：对于任何自然数n，有n+0=0+n。

我们定义了0+n=n，所以要证明n+0=0+n，只要证明n+0=n。

要证明对于任何自然数n，有n+0=n，事实上就是要证明以下一系列命题：

0+0=0，

1+0=1，

2+0=2，

3+0=3，

……

上述第一个命题（即0+0=0）显然是成立的，因为这就是加法的定义——对任何m，0+m=m，只要让m取0就行了。

若上述中的某一个命题成立，比如k+0=k成立，我们来看看它的下一个命题，即（k+）+0=k+是否成立。

根据定义：（k+）+0=（k+0）+，而k+0=k成立，所以（k+）+0=（k+0）+=k+。

根据数学归纳法原理，对于任意的自然数n，有n+0=n，从而n+0=0+n。

接下来做第二件事，即

在k+b=b+k成立的假设下，证明（k+）+b=b+（k+）也成立。

根据加法的定义，（k+）+b=（k+b）+。根据归纳假设，k+b=b+k，于是（k+）+b=（k+b）+=（b+k）+，于是只要证明（b+k）+=b+（k+）就行了。

为此，再次利用数学归纳法：固定k，对b作归纳法。

当b=0时，（0+k）+=k+=0+（k+）。

若（b+k）+=b+（k+），则

（（b+）+k）+

=（（b+k）+）+……（根据加法的定义（b+）+k

=（b+k）+）

=（b+（k+））+……（根据归纳假设：（b+k）+=b+

（k+））

=（b+）+（k+）……（再次根据加法的定义）

这样，我们就完成了加法交换律的证明。

类似地，我们还可以证明加法的结合律：

加法结合律：对于任意的自然数a，b和c，有（a+b）+c=a+（b+c）。

为了完成这个证明，只需固定其中的两个元，对第三个元作归纳法。我们把这个详细证明留给感兴趣的读者。

当我们知道加法满足交换律与结合律后，我们可以证明，对于任意有限多个数相加，可以任意选择相加的顺序，和不变。

数学教育的真功夫是对数学与数学教育的把握，唯此才能成就好的数学课堂。湖南数学教师的老朋友，《湖南教育》的申建春老师开通了微信公众号“与数学老师谈心”，请关注。