徐 妍

大多数教过“乘法交换律”的老师都有这样的感觉，这内容太简单了！是的，如果只停留在知识层面，进行“就事论事”式的浅表性教学，于学生而言，除了知识的叠加外，没多少“获得感”。但若走进教材深处，悉心研究交换律所处的知识结构及其思想内核，悉心琢磨儿童的学习心理，完全可以构筑一道妙可不言的课堂风景。

“近水楼台先得月”，作为同事，笔者有幸聆听了著名特级教师周卫东老师的常态课——《乘法交换律》，从中获益良多。

【教学过程】

一、唤醒旧知

师：同学们，回忆一下，对之前学习的加法交换律以及研究的过程，你有哪些认识呢？

生：交换两个加数的位置，和不变；可以用字母式a+b=b+a 来表示；可以用举例子、讲故事、画图、说意义等方法加以说明。

师：真好！看来过去的知识和方法已经深深地扎根在你们的脑海中了！

二、研究新知

1.积累经验。

师：这节课我们来研究乘法的交换律，知道乘法交换律吗？看来大部分同学对乘法交换律都有所了解，有的可能已经达到理解的水平了！拿出你的《学习单（一）》，举几个你心目中乘法交换律的例子，每人写两个。

师：谁愿意把自己举的例子写在黑板上？

生：3×4=4×3、129×36=36×129、17×46=46×17、21×4=4×21。

2.多维验证。

师：这些都是你心目中的乘法交换律吗？

师：我们心目中的乘法交换律一定合理吗？有什么办法能进一步解释和说明呢？拿出你的《学习单（二）》。想一想，能不能用你喜欢的方式来解释和说明你心目中的乘法交换律是合理的？写好的同学在小组交流你的想法。

生：我的方法是算得数，9×8=72，8×9=72，所以9×8=8×9。

师：真好，算得数可以快速地进行判断。

生：我是用画图的方法。（如图1）正过来看，表示8 个6，旋转一下，可以看到6 个8，而格子的总数是不变的，所以6×8=8×6。

生：我画的是点子图，我表示了3×4=4×3。（如图2）

图1

图2

师：画图可以形象地帮助我们理解其中的道理。

生：我通过乘法的意义来说明。我们可以把乘法还原成加法，再适当地改变一下，就可以看出左右两边完全相等。（如图3、4）

图3

图4

师：当我们把知识还原到它原本的面目时，就会有高于一般水平的发现，掌声响起！

生：我还可以通过积不变的规律来解释，两个乘数，一个乘数乘一个数，另一个除以同一个数，也能得到这个结果。（如图5）

图5

师：你这个方法老师也没想到，我向你学习！

3.总结概括。

师：刚才通过算结果、举例子、画图、说意义等多种方法，从不同层面说明了乘法交换律是合理的。现在再来看看黑板上的这些例子，能用数学的语言概括一下什么是乘法交换律吗？

生：交换两个乘数的位置，积不变。

师：用字母的式子怎么表示？

生：a×b=b×a。

4.沟通联系。

师：仔细回忆一下，你在什么地方遇到过乘法的交换律呢？

生：乘法的验算，交换两个乘数的位置再算一遍，积不变；算长方形面积的时候，长乘宽和宽乘长；一句乘法口诀，可以写出两道相关乘法算式。

5.反馈内化。

师：下面咱们来小试牛刀，快速填一填。

师：通过完成上面的试一试，你有什么发现？

生：乘法交换律中的a 可能是一个整体；乘法交换律可能是多个数的交换；运用乘法交换律可以让计算变得更简便。

三、拓展延伸

师：在四则运算中，我们研究过了加法和乘法的交换律。你预测一下，我们还需要研究什么？

生：除法、减法。

师：是呀，四则运算中，减法和除法有没有交换律呢？打开《学习单（三）》，自己研究研究。

生：4-3 不等于3-4；6÷3 不等于3÷6。

师：举一个反例就说明了减法、除法没有交换律？

生：是的，反例一个就够。

师：是呀，同学们，要证明我们的猜想是存在的，举例要丰富、举证要充分、方法要多样，要证明它是不存在的，其实只要找到一个反例就够了。

师：回顾今天我们研究了什么数学知识？（总结交换律，形成板书）

【教学赏析】

周老师的课立意高、空间大，无论对上课的学生还是听课的教师都是一种享受。悉心琢磨这节《乘法交换律》，如下两点给我特别深刻的感受。

一、预设大空间，多维度分享，促思维爬坡

“乘法交换律”的教学大多基于教材中的一两个例子，对比共同特征后就总结出最后的结论。这样的教学，教师牵着学生“小步子慢慢走”，教师不放心，学生很小心，课堂亦步亦趋，了无生气。而周老师的这节课，围绕“我们心目中的乘法交换律就一定合理吗？有什么办法能进一步解释和说明呢？能不能用你喜欢的方式来解释和说明你心目中的乘法交换律是合理的？”这样的核心问题，驱动学生发散思维。有的从最简单的算得数入手，既有口算，也有学生想到竖式计算中的验算，都是通过计算的方法说明交换两个乘数的位置积不变。“数形结合百般好”，有的学生通过画方块图或者点子图来说明，让学生感受观察的角度不同，但结果都是一样的。同样是画图，我们却看到了学生的不同解读，每2 个一圈，有3 个圈，这是3 个2；每3 个一圈，有2 个圈，这是2 个3，怎么就相等了呢？只要稍稍变化一下，就能更加清晰地看到3 个2 等于2 个3。在最后的分享中，巧妙地归结到其实乘法交换律的上位知识就是“几个几是多少”（乘法的意义）。如上教学环节，不仅从不同的角度帮助学生理解和认识问题，创造性的解决问题，而且还渗透了数形结合、一一对应等数学思想，形成了一定的符号意识和模型意识等数学意识。

二、褒有大视野，整体性建构，助结构优化

注重内容体系的建构。研究了加法和乘法的交换律，自然引出研究其他四则运算中是否也存在交换律，这正是深度理解、整体建构知识并进而实现结构化关联的具体体现。对于减法和除法的交换律，大部分学生会有清晰的直觉，认为不存在，在接下来的自我验证的过程中，让学生形成一定的科学研究常识：要说明一个命题是伪命题，只需要一个反例就够了，而要说明一个规律存在，举例要丰富、举证要充分、方法要多样。从加法交换律引入，探究乘法交换律，再类推到其他运算中是否有交换律，这样，知识之间形成了一个相对完整与合理的知识网络。如此立意，从内容的纵深维度迁移到内容的宽窄维度，推及到思想的高低维度，让我们尽情领略到高观点视野下数学课堂的美丽风景。

注重方法体系的建构。加法交换律及其学习过程对乘法交换律的学习具有一定的迁移与定型作用。周老师深谙其理。课堂伊始，通过对加法交换律的回忆，唤醒加法交换律的意义和研究过程。“知道乘法交换律吗？”看似不经意的提问，实则是在唤醒全班学生对已有交换律的认识。随后，让学生举例子，展示出学生心目中乘法交换律的“样子”，再用自己喜欢的方法解释、说明自己心目中的“乘法交换律”。此过程，尊重已知、重视多元，强化示范、深度卷入，从“感觉”到“认识”再到“理解”，让每位学生的想法和智慧都得到尊重，得以利用。在这样的课堂上，学生的学习拾级而上、逐步建构，像“呼吸”一样自由；在这样的课堂上，大问题驱动，学生的思维在“爬坡”、思想在“登顶”，深度体验和创新意识同步提升。