罗 文

(福建商学院 基础部，福建 福州 350012)



一类相同材料周期焊接问题的稳定性

罗 文

(福建商学院 基础部，福建 福州 350012)

文章讨论了同一材料在平面弹性中的周期焊接问题，通过引入两个全纯函数，将问题转化为周期黎曼边值问题。通过应力函数的表达式，并使用柯西型积分，研究了周期焊接问题的稳定性。

应力函数；周期焊接问题；摄动；稳定性

平面弹性材料的焊接问题在工程上具有广泛的应用，以复变函数为理论工具研究平面弹性问题是个很好的方法。

1.引言

假设Γ∈C是一条简单光滑的封闭曲线，以反时针方向为正向，Γ所围成的内部区域(外部区域)，记为D+(D-)。建立函数关系：

Γδ∶ξ=α(t)=t+δ(t),t∈Γ

(1.1)

当δ∈C′(Γ)时，容易得到：

(1.2)

对于平面弹性基本问题[1-2]，弹性体内任意点z处的应力σx,σy,τxy和位移u+iv，可以由应力函数φ(z),ψ(z)表示为：

(1.3)

其中μ,κ为弹性常数。

2.周期焊接问题

问题Ⅰ：设在一个弹性平面中有一列周期孔L0,L±1,L±2，…，以aπ为周期，在各孔上焊接材料相同的垫圈，设孔边和垫圈线间的位置差异已知，则：

(u++iv+)-(u-+iv-)=g(t),t∈L

其中g(t)也以aπ为周期，并且g′(t)∈H，在z=±∞i处的外应力为零。

3.摄动后的周期焊接问题

那么，称f*为f关于δ的指数为ε的n阶Sobolev型摄动，简记为Φ*∈sp(Φ,δ,ε,n)

假设焊接中问题Ⅰ的孔边和垫圈间的位置差g(t)产生误差，该误差可以看成定义3.1中的Sobolev型摄动，此时的焊接问题就是摄动后的焊接问题，即问题Ⅱ：

在一个弹性平面中有一列周期孔L0δ,L±1δ,L±2δ，…，以aπ为周期，在各孔上焊接材料相同的垫圈，该孔边和垫圈线间的位置异为：

(3.1)

其中gδ(ξ)也以aπ为周期，并且gi(ξ)∈H,i=0,1,2，在z=±∞i处的外应力为零。

根据焊接条件，问……