徐松海

[摘 要] 数形结合思想是初中数学教学的重要内容之一，本文结合调查研究，分析了该思想在初中数学课堂的教学现状及原因，并结合实践给出教学建议.

[关键词] 初中数学；数形结合；教学现状；教学建议

数形结合不仅是一种数学问题的处理方法，更是一种常规的数学思想. 初中数学教学关注学生数形结合思想的培养，因为其有助于发展学生的问题解决能力，能促成学生对数学知识的理解，提升他们的综合素养，那么，该思想的实际教学情况如何呢？以下是笔者的调研和思考.

初中数学课堂中数形结合思想

的教学现状概述

针对数形结合思想在初中数学教学的具体情况，笔者以问卷调查和访谈的方式对此进行了调研，得出以下结果.

1. 教师层面的调查结果说明

（1）有相当一部分教师没有充分意识到数形结合思想在初中数学教学中的重要意义，因此课堂上极不重视该思想的教学渗透.

（2）绝大部分教师只有在进行习题教学时，才会将数形结合思想作为一种解题方法进行使用，他们并不注重在新授课教学时帮助学生培养这一思想.

（3）有一部分初中教师已经认识到数形结合思想在学生记忆和理解某些数学知识难点时的优势，并积极指导学生熟悉相应操作，促成学生学习效率的提升.

（4）初中数学教师在对学生进行方法教学时，对方法的选择具有很强的灵活性：当某些问题既可以从代数角度进行处理又可以用几何方法进行解决时，大部分教师为了有效拓展学生的思维，往往两种方法都予以介绍；当然也有部分教师纯粹从解题便捷的角度出发，引导学生以最简单的方法来处理问题.

（5）初中数学教师大多能全面地领会数形结合思想的基本内涵，而且充分认识到数形结合思想的运用能帮助学生对问题进行简洁化与具体化，进而优化问题.

2. 学生层面的调查结果说明

（1）学生虽然已经逐步形成运用数形结合思想来对数学知识进行理解和记忆的基本意识，但其实际运用能力还有待提升.

（2）绝大多数学生都有运用数形结合思想解决问题的意识，也有极少数学生这一方面的意识有待加强.

（3）学生对数形结合思想内涵的理解还比较片面和狭隘，绝大部分学生局限于“以形助数”这一方面的认识，即通过图像来解决代数问题，而对该思想的另一方面“以数助形”，学生的认识尚有欠缺.

（4）在“以形助数”方面，学生作图的规范性有待强化，在“以数助形”方面，学生从图形中“寻找”数的能力要强于从图形中“构造”数的能力.

基于教学现状的思考

基于对教学现状的调查分析，笔者有以下几点想法.

1. 教师自身对该思想有着较为深刻而全面的认识，但是教学中却略显片面，主要原因有以下几点：（1）作为数学理论的基础性思想，数形结合几乎渗透在初中数学的每一个阶段，它作为一种隐形的存在，离散而琐碎，没有严格的体系化，学生也只能在教师零碎的教学中结合自己的运用逐步形成有关认识；（2）以人教版的数学教材为例，课本上的内容和知识点侧重于“以形助数”的方法运用，而“以数助形”的出现频率明显偏低.

2. 教师虽然认识到数形结合思想在学生理解和内化数学知识中的重要性，但是很多时候依然将该思想定格为解题方法，在数学理论新授课时不予以方法上的引导，以致学生对该思想的运用思路较为单一，理解也比较狭隘.

3. 绝大多数学生重视“以形助数”的操作，忽视“以数助形”的方法运用，其原因有以下两点：（1）“以形助数”将抽象的代数问题以具体而直观的图像进行呈现，为学生问题的理解和解决带来很大便利，该方法的优势提供给学生“形”优于“数”的假象，以致他们忽视“数”在计算和逻辑推理方面的强大作用，进而导致他们“以数助形”意识的淡薄；（2）在平常的练习过程中，“以形助数”的问题比“以数助形”的问题多，以致学生前一方面的能力在频繁训练中不断提升，相反，后一方面的能力就有所欠缺.

4. 学生作图不够规范的原因在于他们平常的习惯不到位，“以数助形”能力发展不均衡，特别是学生由图构造数的能力偏弱，关键在于这一能力对间接思维的要求较高，这些问题需要教师在教学中不断地予以强调和指导，启发学生做出调整，实现提升.

教学建议

结合调研中的问题发现和思考，笔者认为我们的教学要从以下几个方面进行改进.

1. 隐形渗透和系统介绍相结合

作为一种思想教学和意识培养，潜移默化地进行渗透性教学是常规做法，但是考虑到初中生对方法的自我归纳能力不足，笔者认为在隐性渗透的同时，教师也要将数形结合思想进行显化处理，对学生进行系统介绍，让学生形成全面而深刻的认识.

例如在“一次函数”的教学过程中，笔者引导学生从特殊的一次函数图像着手探究，最终形成对一般化的一次函数性质的认识. 此时，笔者并没有让学生停下发现的脚步，而是启发学生进一步发掘函数图像的特征，最终形成认识：对于两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2，当k1=k2且b1≠b2时，两条直线平行；反之，如果两条直线平行，那么它们所对应的函数解析式必然存在k1=k2且b1≠b2 . 学生的认识不应该止步于此，笔者引导学生进行总结：前者属于由“数”到“形”，后者属于由“形”到“数”，它们属于数形结合思想的两个方面，由此让学生对该思想的形成有更加全面的认识.

2. 在知识形成过程中渗透思想教学

教师不能局限于将数形结合思想运用于解题，而应该在新课教学中，引导学生在体验知识的形成过程中，感悟该思想方法的存在，由此启发学生利用这一思想来深化对规律和概念的理解.

例如，在学生已经学习过运用消元法处理二元一次方程组的问题之后，教材还安排学生结合一次函数来处理二元一次方程组的问题. 笔者在引导学生学习这一内容时，并没有照本宣科，而是同时运用“数”与“形”的方法来帮助学生剖析方程解法的实质，让学生明白：消元法属于“数”的方法，从图像的角度来理解它，其实就是两个一次函数图像的交点. 由此，学生从“数”和“形”两个不同的侧面深刻理解了方程组解法的实质. 如果教师能在新课教学中经常让学生体验知识的形成过程，感悟数形结合思想在其中的运用，那么这不仅有助于学生领会对应的知识，也有助于他们思想方法的培养.

3. 展示过程引导与培养学生的构造能力

针对学生“以数助形”能力的缺陷，教师在实际教学中要注重为学生展示从图像中构造数的基本过程和相关方法，从而让学生在模仿中对构造能力进行培养，最终促成他们数形结合思想的系统化培养.

例如，如图1，在正方形ABCD中，先过其顶点C画一条直线，该直线与AB，AD的延长线的交点分别为点E和点F，求证：AF+AE≥4AB.

分析 这是一道典型的几何问题，问题情境围绕图形来搭建，可用条件较少，笔者引导学生经过观察和对比，启发学生构建辅助线，然后通过面积相等这一等量关系，构建方程，将其转变为“数”的问题，最终实现证明.

证明 （构建辅助线）连接AC，设AE=a，AF=b，AB=c，且根据△AEF的面积等于△ACF与△ACE的面积之和，再结合三角形的面积计算公式，有结论AE·AF=AF·CD+AE·BC；又由于正方形的四边相等，即AB=CD=BC=c，所以有ab=（a+b）c. a，b可以看成是一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0的两根，因为Δ≥0，即（a+b）2-4ab≥0，所以（a+b）2≥4ab. 将ab=（a+b）c代入上式并化简后得a+b≥4c，因此AF+AE≥4AB.

在上述问题的求解中，教师要引导学生关注从图形来建构“数”的整个思维过程，要启发学生思考“怎么做”和“为什么这么做”两个问题. 化简上述方程的过程中出现了ab=（a+b）c，这一等式同时出现两数之和与两数之积，因此教师要善于引导学生将其联想到一元二次方程，同时结合待证明结论中两数之和与某数值四倍的大小对比，根的判别式有关结论就会浮出水面，进而层层推进完成证明过程. 在问题处理过程中，教师不仅要启发学生参与“数”的构造过程，更要和学生探讨思路的来龙去脉，从而引导学生对过程与方法进行内化，提升他们“以数助形”的思维能力.