2017年8月号问题解答

（解答由问题提供人给出）

2376某委员会开了40次会议，每次有10人出席，而且委员会任两个成员都未在一起出席过一次以上的会议，证明：该委员会成员一定至少有82人.

（浙江省富阳市第二中学 许康华 311400；浙江省富阳市永兴中学 段春炳 311400）

证明设该委员会有n成员，用n个顶点u1，u2，…，un表示这n个成员，用40个顶点v1，v2，…，v40表示40次会议，如果成员ui出席会议vj则在顶点ui与顶点vj之间连一条边，否则，在其他两顶点之间都不连边，这样得到一个二部图G，则图G的顶点集为U∪V，其中U=｛u1，u2，…，un｝，V=｛v1，v2，…，v40｝，边数为400.因此有.

对于任意的顶点ui∈U，与ui相邻的顶点对有个.由于任两个成员都未在一起参加过两次不同的会议，所以图G中没有四边形，因此，当ui在U中变化时，所有的顶点对都是互不相同的，否则，点对分别在中被计算，那么ui，vk，uj，vl就组成一个四边形.所以

由柯西不等式，有

23 77 设椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，焦点为F1和F2，P为椭圆上异于其顶点的任意一点，Q为线段F1F2上异于其端点的任意一点，ω1，ω2分别为△F1PQ和△F2PQ的外接圆，M，N分别为直线PQ与ω1，ω2的两条外公切线的交点，求证：.

（河南省辉县市一中 贺基军 453600）

证明如图1，设两圆ω1，ω2的圆心分别为O1，O2，两圆的公共弦PQ与直线O1O2的交点为R，点M所在的外公切线与两圆ω1，ω2的切点分别为M1，M2.

图1

根据对称性可知，直线O1O2同时为线段PQ和线段MN的垂直平分线，其垂足为R.

故MM1=MM2，M为线段M1M2的中点.

连接PO1，PO2和QO1.

又同理得 ∠PO2O1=∠PF2F1，

故△PO1O2∽△PF1F2，

因点P异于椭圆的顶点，故PF1≠PF2，这里不妨假设PF1＜PF2，从而有PO1＜PO2，即圆ω1的半径小于圆ω2的半径.

连接O1M1，O2M2，则O1M1⊥M1M2，O2M2⊥M1M2，四边形M1O1O2M2为直角梯形.作该梯形的高O1H及中位线MK，如……