李伟健

（安徽省滁州中学，239000）

文[1]提出的1720号数学问题内容如下：△ABC中，以BC为轴（长轴或短轴均可）作一椭圆交AB于E，交AC于F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点，EN交FM于D.求证：AD⊥BC.文[2]给出了证明方法，之后文[3]、文[4]进行了大篇幅的讨论分析，得出的结论极富美感，但两者推理过程由于计算过于繁琐而稍显不和谐，笔者从极点、极线出发简化文[4]的证明；另外文[4]对文[3]的推广工作并不彻底，本文对文[4]补充完善，并彻底推广了文[3]的工作；此外，回归原问题，在思考1720号问题的结构过程中，得到了一个有趣性质，并以此为基础，解释了文[5]作者赵忠华老师利用几何画板发现的一个有趣现象.

1 文[4]推理过程的简化

文[3]对1720号问题开展分析讨论，得出两个结论，即为：

结论1以△BC中的BC为长轴（实轴）的椭圆（双曲线）交此三角形的另两边AB、AC分别于点E、F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点，G、H分别是E、F在x轴上的射影，连EN交FM于D，连EH交FG于K，连BF交CE于Q，过点E、F分别作椭圆（双曲线）的切线交于点P，则A、P、Q、K、D五点共线.

文[4]同样对数学问题17 20试图对结论1进行推广，探究得到的4个结论，概括地来说，即为如下结论：

结论2设A，B，C，D是非退化二阶曲线Γ上不同的四点，连直线AC、BD交于点M，连直线AD、BC交于点N，过点A，B分别作曲线Γ的切线交于点P，过点C，D分别作曲线Γ的切线交于点Q.则M、N、P、Q四点共线.

该结论具有和谐的美感，不足之处在于论证过程过于繁琐而失去美感，本文从极点与极线的角度，结合配极原理，予以论证，即：

证明记R=AB×CD，由于MNR是自极点三点形，直线MN为R的极线，因为PA，PB与Γ相切于点A，B，所……