郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大学，四川 成都 610059)

基于新陈代谢灰色模型的实时GPS卫星钟差预报研究

郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大学，四川 成都 610059)

实时GPS卫星钟差的可靠性预报是GPS实现实时精密单点定位的关键技术之一。传统的GM(1,1)模型不能及时更新新息数据，致使计算结果精度较差。本文首先介绍了常用的几个钟差模型，并利用新陈代谢GM(1,1)模型，与常用的二次多项式模型进行了对比。通过自编程序，依据某一IGS跟踪站实测的精密卫星星历数据，进行了实时的GPS卫星钟差预报，并与IGS事后精密钟差进行了比较。实验结果表明，基于该新陈代谢GM(1,1)模型估计的卫星钟差与IGS发布的最终精密钟差具有较好的有效性和一致性，这为实时GPS动态精密单点定位提供较高精度的卫星钟差产品。

新陈代谢 灰色模型 实时钟差 精密单点定位

1 引言

在GPS定位过程中，影响定位精度的误差来源主要分为三种，即与用户接收机设备有关的误差如接收机天线偏心误差等，与信号传播过程有关的误差如电离层延迟、对流层延迟等和与卫星星座有关的误差如轨道误差等。在所有这些误差影响中，大部分误差如电离层误差、对流层误差、天线相位中心改正、相对论效应等可以通过模型改正改正予以消除。通过差分计算，我们可以将消除卫星钟差，但会留有残差。而很小的卫星钟差残差对精密单点定位也会产生很大的影响，例如，钟差残差在几纳秒左右，对于精密单点定定位也会造成十几米甚至更大的影响。因此，卫星钟差不能只是简单的通过双差进行消去，最好的方法就是将其模型化。卫星原子钟的随机特性表现为多种幂律噪声的叠加，具有明显的非线性特征。目前，IGS提供的IGU预报钟差的精度为3ns，无法满足实时精密单点定位的精度要求，实时且精度高的卫星钟差已显得尤为重要，也是完成实时精密单点定位必须要解决的难题之一。

二次多项式模型是在钟差估计钟差估计中常用模型之一。其原理简单，计算快捷，且在预测时间较短的情况下，精度较高。灰色预测系统是我国邓聚龙教授20世纪80年代首次提出的一个新的信息理方法。灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的预测系统，即信息不完全确知的系统。信息完全状态为“白色”，信息缺乏状态为“黑色”。它是以灰色模块为基础，通过对原始数据实行累加或累减生成新的数据序列，然后对生成的新的数据序列进行建模。它不用随机变量的概念，只把它看作在一定范围内变化的灰色量。而且,它不需要大样本的原始数据,只需要少量的已知数据(只要原始数列有4个以上数据)就可以建立灰色模型,减少了要使用的数据量，提高了建模速度。实时卫星钟差估计正好可以利用灰色模型这一优势，通过4个及以上数据便可以估计任何时刻的钟差。

由于灰色GM(1,1)模型随着时间的推移，陈旧的信息会对系统产生扰动，使得预测精度下降，预测意义。针对常规模型的不足，本文采用新陈代谢GM(1,1)模型对北斗卫星钟差进行实时预报 计算结果与IGS发布的最终精密钟差进行对比，具有良好的一致性和有效性。

2 精密星历钟差内插

IGS精密星历和钟差参数都是以15分钟或者5分钟间隔给出，在使用模型进行实时钟差估计时为保证精度，需要使用几十秒、几秒更小的采样间隔钟差数据，因此需要采用内插方法得到所需历元时刻的卫星位置和钟差参数。用于内插的方法有很多种,包括：拉格朗日多项式插值、牛顿多项式插值、切比雪夫多项式插值、三角多项式插值等。这里只对对拉格朗日多项式差值做简要介绍。

若已知函数y=f(x)的n+1个节点x0、x1、x2…..xn及其对应的数值y0、y1、y2….yn,对于插值区间内任何一点,可用拉格朗日插值多项式计算函数值：

(1)

为使得计算结果更加精确，本文选用matlab软件中自带的三次多项式内插法选择不同的采样间隔来计算所需的钟差差值。经检验，其结果具有满足精度要求。

3 常用钟差模型

3.1 二次多项式模型

二次多项式模型在钟差估计中应用最为广泛。原因是其原理简单，便于计算。而在实际计算过程中，我们一般会采用二阶多项式的模型。可表示为：

Δtsv=a0+a1Δt+a2Δt2+ε,t1≤Δt≤t2

(2)

上式中，Δt=ts-t0；Δtsv为ts时刻GPS卫星钟差；a0为参考时刻t0的卫星钟差，a1为参考时刻t0的卫星钟速，a2为参考时刻t0的卫星钟漂移率，ε为由于频率的随机误差而引起的一种随机误差，无法知道其确切数值。

二次多项式模型的不足之处表现在：(1)Δtsv是一个时间函数，其误差会随着预报时间的延长而增大。(2)二次多项式模型的计算精度，容易受到多项式拟合的阶数及已知数据个数的影响，具有很多不确定性。

综上在实时钟差估计过程中，由于其动态的特性，使用二次多项式模型会在多项式拟合的阶数和数据个数的选取上构成一定困难，因此，具有一定的限制性。

3.2 周期项模型

对于含有周期性变化的钟差序列，我们可以利用频谱分析法找出数据序列中存在的显著周期项，从而对其进行建模，以此提高预报模型的准确性。这里以顾及线性趋势项为例，构建钟差序列周期项模型可表示为：

式中，a0、b0分别为线性趋势项的系数，p为显著周期项函数的个数，fk为对应周期项的频率，Ak、φk分别为对应周期项的振幅和相位，ei为xi的残差，p和fk可由频谱分析的方法确定。

由此我们得知，周期项模型的关键就是利用频谱分析的方法确定其参数。频谱分析是利用数据形式呈波形的性质，通过对数据波形的幅值进行分析，找出数据序列中存在的显著周期项。这些周期项在频谱图上表现为具有较大能量(幅值)特征。频谱分析主要是通过傅里叶级数展开式来计算数列中各个数值的频谱值。

3.3 求和自回归滑动平均模型

ARIMA模型简称B-J法或求和自回归滑动平均模型，它是美国威斯康辛大学的Box和英国的统计学家Jenkins在1970年提出的。该模型包含时间序列的自回归(AR)模型和滑动平均(MA)模型，是一种综合的预测方法。其中，自回归滑动平均模型ARMA(p,q)形式如下式所示:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+at-θ1at-1+…+θpat-q

4 GM(1,1)模型介绍

4.1 常规GM(1,1)模型

(3)

并将其记为GM(1,1)。式中，a、u为灰色参数。根据导数离散化形式，微分方程以矩阵形式表示可以写成：

Y=BU

(4)

其中，

根据最小二乘原理计算得参数估值为：

(5)

根据得到的参数估值，代入上述微分方程中，解算得到：

(6)

又由于

(7)

可得到

(8)

4.2 新陈代谢GM(1,1)模型

5 方案设计

由于IGU文件中预报部分的轨道精度约为5cm，随着时间的外推轨道精度会进一步降低到10cm左右，而其预报钟差的精度降低幅度更大，大约为3ns(为0.9m)，基于此的轨道和钟差并不能满足高精度精密单点定位的精度要求。

考虑到超快速钟差产品发布的延迟性以及数据在传播过程中硬件延迟等误差，用户接收到卫星钟差会有3-9小时延迟。为满足绝大部分用户达到高精度实时定位的要求，这里我们用新陈代谢GM(1,1)模型分别估计1h、3h、6h、9h、12h的卫星钟差，将其定位结果与二次多项式法估计钟差进行对比，同时分析不同采样间隔、不同起算初始历元对新陈代谢GM(1,1)模型实时精密单点定位的影响。

6 数据分析

为了评估新陈代谢GM(1,1)模型计算实时卫星钟差的精度与可靠性，本文利用自编程序，选取2016年3月13日年积日为73天利用某一跟踪站测得的GPS精密星历数据进行验证。该测站共接收到了32颗卫星，由于PG04卫星钟差较大，且不稳定，在这里我们不予考虑。为比较不同采样间隔、不同历元个数对实时估计钟差的影响，分别采用5S、10S、15S采样间隔数据及10个初始历元、30初始个历元来估计不同时刻的卫星钟差，并将得到的钟差与IGS事后精密钟差进行比较得到其较差。限于篇幅，我们仅以PG1、PG13、PG14、PG32为例来说明问题，其他卫星亦能得到类似的结论。

(1)用二阶多项式对钟差进行预报

这里，卫星钟差用二阶多项式表示，可简化为：Δt=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2，其中Δt为任意时刻钟差，a0、a1、a2分别为任意时刻t的钟差、钟速、钟漂。t0为初始时刻，为计算简便，这里可以设2016年3月13日00点00分00秒为初始时刻，采用10个初始历元，5秒采样间隔。为使模型更加准确，选择前三个小时的数据对钟差进行拟合，求得a0、a1、a2三个参数后，便可以对任何时刻的钟差进行拟合。表1即为拟合1h、3h、6h、9h、12h钟差与IGS事后钟差偏差结果。

表1 二次多项式法估计不同时长钟差与IGS 事后钟差偏差结果 (单位：纳秒)

将所有卫星(PG4为问题卫星，除外)均利用二阶多项式模型进行钟差预报，将得到的预报结果，均与事后IGS钟差进行比较，得到不同时长下的RMS值，具体结果如表2所示。

表2 二次多项式法估计不同时长钟差与IGS事后 钟差的RMS值 (单位：纳秒)

小结：由表1、2可知，预测时间在前3个小时以内，RMS值小于0.1ns，因此使用二次多项式预测卫星钟差可以得到较好的结果，但随着预测时间的延长，其误差积累特性愈发明显，其预报精度也越来越差，不能够满足实时精密单点定位的精度要求。

(2)表3为利用新陈代谢GM(1,1)模型，不同卫星在10个初始历元，5S采样间隔下得到的估计不同时长的钟差结果。

表3 新陈代谢G(1,1)模型估计不同时长钟差与IGS事 后钟差偏差结果 (单位：纳秒)

同理，与计算2表方法类似，将将所有卫星(PG4为问题卫星，除外)均利用新陈代谢GM(1,1)模型进行钟差预报，将得到的预报结果，与事后IGS钟差进行比较，得到不同时长下的RMS值，具体结果如表4所示。

表4 新陈代谢G(1,1)模型估计不同时长与IGS事后 钟差的RMS值 (单位：纳秒)

小结：由表3、4得知，预测时间在前3个小时以内，RMS值小于0.3ns，同样可以满足实时精密单点定位精度要求，只不过其精度比二次多项式模型精度低，随着预测时间的推移，钟差误差变化相对稳定，这也是使用新陈代谢GM(1,1)模型的优势之一。

(3)为了对比相同条件下，不同初始历元个数对估计钟差的影响，这里采用相同卫星5秒采样间隔，分别利用10个初始历元、30初始个历元估计不同时长的结果。以PG1卫星为例。表5为PG1卫星不同初始历元的估计钟差结果。

表5 不同初始历元个数估计不同时长钟差与IGS事后 钟差偏差结果 (单位：纳秒)

由表5数据可得知，在预测时长较短时，30个初始历元估计精度确实优于10个初始历元的计算精度，但是效果并不是很明显。这说明，预报时间较短时，不同的初始历元个数对预报精度影响并不大。而初始历元个数越多，反而使计算过程变的复杂，计算时间也大大加长，引起不必要的麻烦。因此我们应该在估计过程中，适当的选取初始历元个数，已达到较高的计算效率与精度。

(4)为了对比相同条件下，不同采样间隔对估计钟差的影响，采用相同卫星利用10个初始历元数据，分别选取5S采样间隔、10S采样间隔、15S采样间隔预测实时卫星钟差，以PG1为例，结果如表6所示。

表6 不同采样间隔估计不同时长钟差与IGS 事后钟差偏差结果 (单位：纳秒)

小结：由表6数据得知，随着采样间隔逐渐增大，估计精度也会逐渐降低。采样间隔越小，越趋近于动态计算。但是随着采样间隔的不断减小，计算也会越来越复杂。因此，在计算过程中，我们也应在计算时间适当的情况下，选择合适的采样间隔，使得计算精度满足要求。

7 结论

通过上述数据分析，我们验证了新陈代谢GM(1,1)模型实时估计卫星钟差的可行性，并与常用的二次多项式模型进行了对比。我们得知，新陈代谢GM(1,1)模型可以得到精度较高的实时钟差数据，为GPS精密单点定位提供了可靠的钟差数据。通过各个卫星不同采样间隔、不同初始历元数据及相同卫星不同估计不同时长钟差的横向、纵向比较分析，我们可以得到如下结论：

(1)预测时长在3个小时之内时，各卫星(问题卫星除外)均能达到0.3ns之内的精度，满足实时精密单点定位的要求。并且随着时长的增长，估计精度变化相对稳定。

(2)在预测时长较短时，不同的初始历元个数对预报精度影响并不大，因此我们应当适当选取初始历元的个数，以保证计算精度以及计算时长。

(3)采样间隔越小，精度会越高。随着采样间隔的逐渐增大，钟差精度会越来越低。因此在实际应用中我们应当结合实际情况，选择合适的采样间隔，使得估计卫星钟差满足所需要的精度要求。

使用灰色模型的不足之处在于：估计钟差只能得到与选取初始历元间隔相同的钟差，如果想得到任意时刻钟差，还需根据计算结果进行合适的内插，或者选取合适的采样间隔。

另外，本文是根据有限数据得出的结论，有不符之处，仍有待于改进。

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Based on the Grey Metabolism Model of Real-time GPS Satellite Clock Difference Prediction Research

GUO Rui-xue,YI Mei,GAO Ya-ping

(Chengdu University of Technology,Chengdu Sichuan 610059,China)

Reliability prediction of real-time GPS satellite clock error is real-time GPS precise point positioning of one of the key technologies. The traditional GM (1, 1) model can't update the new rate data, which has poor precision. Using metabolism GM (1,1) model, this paper compared with quadratic polynomial model in common use. Through self-programming, according to a certain IGS tracking station measured precision of satellite ephemeris data, to carry on the real-time GPS satellite clock difference prediction, and are compared with those of the IGS precision clock difference afterwards. Experimental results show that based on the metabolism of GM(1, 1) model to estimate the satellite clock error and eventually released IGS precision clock difference has good validity and consistency, which provides real-time dynamic GPS precise point positioning higher accuracy of satellite clock error products.

metabolism; grey model; real-time clock difference; PPP

2016-05-23

P228.4

B

1007-3000(2016)06-5