湖南省浏阳市田家炳实验中学1407班 羊宇健

试析导数在高中函数问题中的应用

湖南省浏阳市田家炳实验中学1407班 羊宇健

历年高考中，函数知识的考查一直是每年高考的热点，而导数在函数问题中的应用，给我们解决函数问题增添了新的活力，尤其是在判断函数的单调性、极值等方面有着广泛的应用。下面，我就分享自己在导数学习中的一些感受和经验供大家参考。

一、利用导数求函数的切线

例1 已知曲线y=x3-2x2+1 ，求经过点A（2,1）的切线方程。

解：当切点为点A时，将x=2代入y,=3x2－4x，得y′=4，利用点斜式，可得切线方程为4x-y+7=0；当切点不是点A时，不妨设切点为A0(x0,y0),则有y0＝x03－2x02＋1；（1）

利用点斜式，可得切线方程为y－1＝（3x02－4x0）（x－2）；（2）

结合（1）（2）两式，可解得x0＝0,2，所以，过点A的切线有两条，分别是y＝1和4x－y＋7＝0。

对于利用导数求函数的切线问题，我们要熟练掌握曲线y＝f（x）在A（x0，y0）处的切线斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数，其切线方程为y－y0＝f′（x）(x－x0），而很多学生常常忽略题目的要求，没有弄清是求过切点的切线还是求该点为切点时的切线。因此，在做题时应仔细审题，确保答案正确无误。

二、利用导数判断函数的单调性

例2 已知函数y＝2x3－4x2＋2x，求该函数的单调区间。

分析：首先明确函数的定义域，求出该函数的导数为y′＝6x2－8x＋2；其次利用导数性质进行作答，即当y′＞0时，函数为单调增区间，y＝6x2－8x＋2＞0,求得x＞1或x＜;当y＜0时，函数为单调减区间，6x2－8x＋2＜0,求得＜x＜1。

在函数比较复杂时，我们常常利用导数判断函数的单调性。对于利用导数判断函数单调性问题，首先应求出函数的导数，并且确定出函数的定义域；其次，利用导数的符号判断函数的单调性，即在函数的定义域内导数大于零，则为函数的增区间，导数小于零，则为函数的减区间。……