王洪洲

(安徽省淮北市第一中学，235000)



对一类绝对值问题的探究

王洪洲

(安徽省淮北市第一中学，235000)

含绝对值的问题常出现在高考和竞赛试题中,处理此类问题常规方法有零点分类讨论去绝对值、应用绝对值的几何意义、借助绝对值三角不等式等.这些办法虽然易明确解题思路,但过程较繁琐,计算量大,降低了解题效率．本文将介绍一个结论,来处理此类问题．

结论令f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|,a1≤a2≤…≤an(n∈Ν).

若n是奇数,则f(x)的值域为

若n是偶数,则f(x)的值域为

证明由函数图象，易见

|x-a1|+|x-an|≥an-a1,

①

当x∈[a1,an]时等号成立；

|x-a2|+|x-an-1|

≥an-1-a2,

②

当x∈[a2,an-1]时等号成立；

……

若n是奇数,则

③

若n是偶数,则

④

以上各式相加，可得

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|

证毕.

例1(2015年重庆高考题)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=______.

解由结论可知不需对a分类讨论,可理解为n=3且a2=a3=a的情形.

∴f(x)min=f(a)=|a+1|=5.

解得 a=4或-6.

(A)0个 (B)1个

(C)2个 (D)3个或3个以上的

解由结论可知

当x∈[a5,a6]时,

(|2x-5|+|3x-7|+|5x-11|)min

故选A.

上述结论适合多个绝对值相加的最值问题,如果中间出现绝对值相减,就需对其推广如下:

f(x)的图象主体呈“W”形．

f(x)的图象主体呈“Z”形．

f(x)的图象主体呈“M”形．

证明(1)(2)(3)的证明方法相似,本文只选择证明(1).

当x≥an时,

当x≤a1时,

当ai≤x≤ai+1,i∈{2,3,…n-1}时,f(x)为一次函数或常值函数,其图象为线段，

例3若对任意实数x都有|3x-2a|-|2x-a|≥-672,则a的取值范围是______.

解本题形式符合推广的结论(1).

例4设函数f(x)=|2x+1|-|x-3|,关于x的不等式a+3|x-2|>f(x)恒成立,求实数a的取值范围．

解a+3|x-2|>f(x)可化为

a>|2x+1|-|x-3|-3|x-2|.

由推广结论(3) 可知对于|2x+1|-|x-3|-3|x-2|,由结论可理解为n=6,a3=a4=2的情形.

由推论知，当x=2时,

(|2x+1|-|x-3|-3|x-2|)max=4，

∴a>4.

上面使用的两个结论,其证明中用到了零点分类讨论去绝对值符号、绝对值的几何意义、借助绝对值的三角不等式等知识和思想方法,这也是处理含绝对