张 刚

(安徽省宿州市埇桥区祁县中学，234115)



多视角下的数列最值问题求解策略

张 刚

(安徽省宿州市埇桥区祁县中学，234115)

数列是一种特殊的函数,数列作为主干知识,是每年高考的重点问题之一,也容易和其它数学知识相结合考查.但是,数列中的最值问题,常常由于数列本身性质的特殊性,导致学生不能很好地处理此类问题.因此,本文从多个视角对数列最值问题加以分析说明,以期引起大家的思考和共鸣.

视角1 等差数列求和型

例1已知数列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7.若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为( )

(A)15 (B)750

故选C.

例2已知数列{an}的通项公式为an=2n-31,若其前n项和为Sn,则Sn的最小值为______.

解由an=2n-31知数列{an}的公差d=2,数列{an}单调递增.

视角2 均值不等式型

评注利用均值不等式求最值时,特别要注意数列中的n为正整数.因此,当利用均值不等式在“一正二定三相等”的取等条件不满足时,必须根据取等号得到的值找该值(非正整数)的相邻的两个正整数,代入求值然后决定取舍;或者利用对勾函数求解.

故选A.

视角3 函数单调性型

评注数列是特殊的函数,可从函数角度考虑,利用函数y=f(x)的性质,求数列an=f(n)的最值.

视角4 比较大小型

解由已知，得

易见，(3n+1)(n+1)>0，

当n≥2时,3n>2n+1,

视角5 线性规划型

例7等差数列的前n项和为Sn,S4≥10,S5≤15,则a4的最大值是______.

①+3×②，得

a1+3d≤4,

故a4=a1+3d的最小值为4.

于是，转化为线性规划问题,求得a4=x+3y的最大值为4.

评注解法1着眼于整体性,同向不等式相加只使用一次,有时需要利用待定系数法确定组合关系.解法2则转化为线性规划求解.

视角6 推理分析型

例8……