徐 颖

(江苏省常州市田家炳高级中学，213000)



巧妙构造 完美三角

徐 颖

(江苏省常州市田家炳高级中学，213000)

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造更是令人拍案叫绝，能为数学问题的解决增添色彩.构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，把题设条件中元素间的关系找出来，构想这种关系在某个模型上得以实现，或者构想出某种新形式，能使问题从新的角度去审视，从而使问题巧妙地获得解决，我们称之为“构造性思维”.本文以三角试题为例加以说明.

一、构造函数或方程

函数在整个高中数学中占有重要的地位. 构造函数指的是由问题的条件及所给的数量关系为对象，构想、组合成一种新的函数关系，使问题得以解决，这就要求学生对典型的函数或方程及其特性很熟悉.

构造函数或方程解题过程如图1：

分析由sin2C=4cos Atan B，我们想到一元二次方程的判别式.当判别式为零时方程有等根，为此，不妨一试.

解令x=3，则第一个关系式即为

x2cos A+xsin C+tan B=0.

(*)

因为cos A≠0，所以(*)式是关于x的一元二次方程.由第二个关系式推知，(*)的判别式Δ=sin2C-4cos Atan B=0，所以，关于x的一元二次方程(*)有等根，即x1=x2=3.

由韦达定理，得

二、构造向量

三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决.

例2(苏教版必修4第115页)已知sin α+sin β=a,cos α+cos β=b,求cos(α-β).

解如图2，不妨设α，β的终边均在第一象限.设A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)为单位圆上两点，则

在∆OBC中，

由余弦定理，得

∵∠OBC+(β-α)=π，

∴cos(α-β)=cos(β-α)

变式1已知sin β-sin α=a,cos β-cos α=b,求cos(α-β)的值.

解按照例2的设法，在图2中连结AB，可得

在……