盛 丽

一、问题的提出

浙江省功勋教师、著名特级教师张天孝老师坚持数学教学要以能力为重，以促进学生高层次思维发展为目标，设计了一系列富有新意的计算问题。其中，由张老师主编的《学数学长智慧》六年级上第23页第2题是这样一道题:从1～9这九个数字中任选五个数字以及用上“+、-、×、÷、（ ）”等符号构建数学等式如“1×4÷2=9-7，45=（8-3）×9”。

解决这个问题比较理想的一种思路是：选定五个数字，如1、2、3、4、5，先构造一个等式，如 1+2=（5+4）÷3，进而对这个等式进行移项操作，获得更多的等式，如：1=（5+4）÷3-2，2=（5+4）÷3-1，5+4=（1+2）×3，3=（5+4）÷（1+2），5=（1+2）×3-4……用同样的5个数还可以构造不同的等式，如1×5=2×4－3，通过移项可得：1=（2×4－3）÷5……依此继续。

显然，本题真正的挑战不在于运算，而是要综合考虑数值的特点，将各个数以不同的方式灵活地组合起来。它把数感与代数思维的启蒙结合在一起，与通常的计算训练相比，更有利于发展学生思维的灵活性和创造性。

那么，学生是怎样来思考类似的问题的？通过教学，学生可能达到怎样的水平？笔者在本校三年级选取一个班的学生，尝试进行“选数字构建数学等式”的实验研究。

二、实验对象及过程

1.实验对象。

临安市某城镇小学三年级一个班，共47名学生。（该地区学生一直使用人教版教材，按照正常的教学进度，已学完基本的四则运算）

2.实验和访谈过程。

本次实验在被测对象不变的情况下，按“前测——学生访谈——上 课 和 练 习——后测——学生访谈”的程序进行。

三、实验结果与分析

1.前测情况。

（1）基本情况：2015年4月29日下午，在学生事先不知情的情况下，由笔者自己组织测试。测验用题为：用 5、6、7、8、9这 5个数字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符号构建出一些数学等式。考虑到三年级学生对“等式”概念非常陌生，测验前举例说明了“等式”的意思：像4×5=3×9-7；45=（8-3）×9这样用等号连接的式子叫等式。整个测试过程学生没有任何的讨论与交流，基本反映了学生在自然情境下独立解答这一问题的水平。

测试后，我们对学生的测试情况进行初步的整理，并在整理的基础上，选择一部分学生进行访谈，测试与访谈在同一个下午完成。

（2）前测情况分析。

等式通过率情况统计表

表1

从表1可以看出，29.8%的学生不能独立解答，有70.2%的学生能构建出1个及1个以上的等式，有8.4%的学生得到了5个或6个等式，在15分钟内最多可以得到6个等式。

分析其原因，由于第一次接触这样的题目，多数学生处于无定向的尝试状态，不能从数与式的联系中寻找规律，思考对策，因而效率较低。且有一部分学生挑战新题型的信心不足，几次尝试失败后，继续挑战的动力不足。

测试中，仅3人自觉或不自觉地用到了恒等变形的策略（如下图），可以认为这个阶段的学生，有序思考能力和代数变形水平都相对较低，思维的可逆性较差。

2.上课和练习。

前测结束后的第二天，教师进班上课，按一天一节，共两课时教学。

第一课时：“构建等式”教学。

课时内容：

（1）什么是等式？

分小组开展“玩转天平”活动，理解等式的含义。强调：当两个量相等时，可以用等号连接，等号表示等价。

（2）如何构建一个等式？

小游戏：用 1、2、3、4、5 五个数字构建等式。

通过学生自主尝试和相互交流，逐步积累起一些构造等式的经验，突出有序思考：如先想数字1和2，可以构成算式1+2，2－1，1×2，2÷1，或者两位数 12，21；取“1+2”作为等式的一边，则另一边需要用数字3、4、5构造一个得数等于 3的算式，3÷（5－4）、3×（5-4）、（4+5）÷3、……则可形成等式1+2=3÷（5－4）、1+2=3×（5-4）、1+2=（4+5）÷3等；继续取“2-1”作为等式的一边思考……

作业：用 5、6、7、8、9 这五个数字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符号构建出尽可能多的等式。

第二课时：“恒等变形”教学。

课时内容：

8=6÷（9-7）+5

9-7=6÷（8-5）

5=___________

9=___________

6=___________

7=___________

利用学生的作业（“5、6、7、8、9”五个数字构建基本等式）进行恒等变形教学，如某生已得等式：8－5=6÷（9－7），引导学生通过数与式的关系进行以下变形。

作业：用 3、4、5、6、7 这 5 个数字以及“+、-、×、÷、（ ）”等符号构建出尽可能多的等式。

3.后测情况。

（1）基本情况：2015年 5月7日下午，笔者对同一个班的学生进行创造性思维水平的检测。测验题目是：从1～9这九个数字中任选五个数字以及用上“+、-、×、÷、（ ）”等符号构建出数学等式。强调：选好的5个数字全都要用上，且每个数字只能用一次；尽可能多地写出数学等式。测验时间15分钟。

后测比前测增加了开放性，即我们考查的主要不是学生能否记住本题的答案，而是通过教学，学生是否积累到了必要的思维经验，并能把经验迁移到新的问题情境中，获得思维能力的真发展。

（2）后测情况分析。

等式通过率情况统计表

表2

从表2可以看出，97.9%的学生能独立构建1个及1个以上的等式，只有1人没有构建成功。有70.2%的学生能构建5个及5个以上的等式，有42.6%的学生能构建11个及11个以上的等式，在15分钟内最多可以得到27个等式。47人中有43人较前测有明显进步。通过这样的题目发展学生思维的效果非常显著，使我们相信教学在发展学生高层次思维能力方面大有可为。

测试发现，在构建等式过程中使用变形策略的学生有39人，其中最多的1位同学构建出27个等式，经过4次变形。（访谈中这位同学还说，如果再给他一些时间，他能写出更多的等式）

另有12人尝试利用运算规律来增加构造等式的数量，这是课堂中没有讲到过的，体现出一定的创造性。

四、对教学的启示

1.构建等式的训练有助于启蒙学生的代数思维。

根据以往的学习经验，三年级学生对“=”的理解往往停留在“得出”，而非左右两边的“等价”。而在本实验的后测中，绝大多数的学生能从一道构建成功的等式入手，通过恒等变形或数字变换得到更多的等式，这可以视为代数思维中的“结构意识”在学生心中已经萌芽。

2.创造性思维的训练存在很大的空间。

本题的训练目的不是为了单纯求出一个结果，引出一个结论，而更看重训练过程中学生思维的发生和发展。实验结果表明，这种非常规题的教学和练习，极大地激发起学生的学习兴趣，唤起他们的自主和自信，有助于提高他们分析、推理以及变换的能力，锻炼思维的深刻性、灵活性和创造性。学生的创造性思维是可以得到有效的培养和训练的。

3.存在的问题。

本实验周期较短。一方面，所有的训练内容有较强的针对性，课堂练习和后测问题联系紧密，后测数据可能存在短期效应，如何形成课程体系，落实到平时的课堂中，使内容更优化，教学更有序，有待进一步思考；另一方面，实验题目新颖，教师和家长缺乏一个认同、理解和有效加工的过程，难免影响到学生的掌握水平。