李婷，沃维丰

(宁波大学数学系，浙江 宁波 315211)

GdKP方程的最优系统和群不变解

李婷，沃维丰

(宁波大学数学系，浙江 宁波 315211)

利用经典李群方法对GdKP方程进行Lie对称分析，求得该方程的Lie对称代数，及其相应的约化方程和最优系统.更进一步，作者求出了dKP方程的部分群不变解.该方法在物理中有广泛的应用.

GdKP方程；李群方法；对称约化；最优系统

1 引言

孤子理论的产生和发展蕴藏着一系列求解偏微分方程精确解的方法，如反散射方法、Darboux变换、Backlund变换、Lie对称分析等等.目前，寻求非线性微分方程相似约化解的最基本有效的方法有[1]：Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的经典李群法，Bluman和Olver等推广的非经典李群法[23]，Clarkson和Kruskal提出的CK直接法[4]等.前两种方法主要是基于群论，后一种方法是基于代数角度来约化方程.

本文主要考虑GdKP方程[57]

其中，f是关于u的任意函数.一方面，给出方程(1)的Lie对称代数和约化方程，算出该5维生成元的一个最优系统[2]；另一方面，根据GdKP方程的最优系统和李代数，得到dKP方程

的部分群不变解.

2 GdKP方程的对称和约化方程

一般地，k阶微分方程F(x，u，∂u，∂2u，···，∂ku)=0在由生成元

生成的群变换下是不变的，当且仅当

当F(x，u，∂u，∂2u，···，∂ku)=0时.

设方程(1.1)满足的点李对称的无穷小生成元为

向量场(3)的二阶延拓pr(2)X对方程(1)应用李群方法，要求它的解集S={u|△=0}在该向量场所产生的对称群的作用下是不变的，则必须满足下列条件：

方程(4)对任意的x，t，u，ux，ut，uxt和uxx都成立，因此通过提x，t，u，ux，ut，uxt和uxx以及他们乘积的系数，得到关于ξi(i=1，···，4)的超定方程组.求解该方程组，最后得到方程(1)的李对称为

其……