王晓瑾

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

一类函数的对数完全单调性

王晓瑾

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

通过对参数λ，µ的讨论，主要利用函数的单调性理论，已有对数完全单调函数的性质以及幂函数的积分表达式研究了函数Gλ，µ(x)及函数[Gλ，µ(x)]-1的对数完全单调性，并在此基础上得到了一定条件下函数Gλ，µ(x)及[Gλ，µ(x)]-1对数完全单调的充要条件.

Gamma函数；对数完全单调性；导数

1 引言

欧拉Gamma函数自产生到发展至今，已经有着悠久的历史了，历经几代数学家孜孜不倦的研究，如今Gamma函数的理论体系日趋完善，在其他学科中的应用不论从广度还是深度都达到了一个新高度.文章选择研究Gamma函数及与之相关的函数主要因为它们不但有丰富的理论依据，而且是研究不等式的有力工具，还可以与其他学科相互融合.

称函数f在区间I上完全单调，如果f在区间I上存在各阶导数且满足：

如果不等式(1)严格成立，则称函数f在区间I上严格完全单调[1-4].

称函数f在区间I上对数完全单调，如果它的对数lnf在区间I上存在各阶导数且满足：

如果不等式(2)严格成立，则称函数f在区间I上严格对数完全单调[1-4].

在文献[5-6]中郭森林和祁锋证明了函数

在区间(max{0，-β}，∞)上对数完全单调当且仅当β≥1，并且证明了函数1/gβ(x)对数完全单调当且仅当经过对该函数的仔细推敲和研究，就想到给函数gβ(x)再引入一个参数对数完全单调性又将如何呢？从该问题出发，文章通过对参数的分类讨论，研究了函数

的对数完全单调性.

2 引理……

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