邵云

（南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171）

异核双原子分子转动配分函数在高温极限下积分式的证明及一种谬误分析

邵云

（南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171）

在通用的《统计物理学》教材中，对于异核双原子分子的转动配分函数在高温下由求和形式转化为积分形式有统一的计算方法.但不少师生对此方法心存疑虑，更有甚者会提出另一种似是而非的计算方法.文章按照微积分的定义，对教科书中的计算方法进行必要的分析与佐证，并对某些错误理解进行纠正.

异核双原子分子；转动配分函数；高温极限

0 引言

1 异核双原子分子转动自由度的配分函数

2 高温极限T≫θr下的积分计算方法

1）因为Δl=1，所以Δx→0；

2）令dx→0，使得dy→0.

前者属于实际情况，后者属于数学上的等价处理.可见，分这样两个积分步骤要比文献［3-6］中直接用dl(2l+1)代替(2l+1)、文献［1-2］中直接设更容易接受！能够消除读者在微积分认识上的疑虑.

当然，积分是求和的极限，是一种理想化的计算方法，它与实际求和结果之间的误差总是有的，如前面所言，之间的差别正体现了这种误差的存在.不过，由于在高温极限T≫θr下l的有效取值范围很大（理论上是0→∞），加上指数衰减因子的共同影响，最终使得积分与求和结果之间的误差其实很小，而且几乎是一个与温度T无关的常数.数值计算结果显示：若T θr（即积分结果）分别取10、100、1 000时，的严格求和结果即式（1）则分别为10.340、100.334、 1 000.333.见表1.

表1 不同程度的高温极限下的经典积分与量子求和结果

表1 不同程度的高温极限下的经典积分与量子求和结果

θr∫0 Zr 1 =T Zr= 1∞e-ydy=T ∞θr T θr∑l=0(2l+1)e-l(l+1)10 100 1 000 10.340 100.334 1 000.333

由于多数双原子分子的转动特征温度θr在几至几十K［1］，因此在常温附近T θr取值大致在10～100左右.虽然表1是针对异核双原子分子的配分函数值，但可以料想同核双原子分子也应具有类似情形，即在常温附近，采用经典积分计算代替量子求和计算所带来的误差很小，经典的能量均分定理对大多数双原子分子的转动自由度应完全适用.

3 一种谬误

有人给出如下的求和转化为积分的方案.为服从“微积分规则”，可作如下变形：

4 对谬误的批判

在通常的高温极限（见表1）T≫θr下，式(7)的第二项并不能忽略，从表1所给的求和数据可以清楚地看出这一点，因此式(7)显然是错误的.式(4)中两个求和的数值计算结果显示：式（7）的第二项是正确的，第一项则是错误的，即式(4)的第二个求和转为积分没有问题，而第一个则有问题.问题出在哪儿？下面将从两个角度说明.

4.1 从定积分定义的角度分析

图1 不能转化为积分的求和示意图

图2 可转化为积分的求和示意图（Δy→0）

由微积分知识知，当自变量x的区间Δx→0时，Δx可以写成dx；函数 f(x)的微分df=f′(x)dx实际上只是函数增加量Δf的泰勒展开级数的第一项，即零级近似，只有在Δf→0时两者才严格相等；导数也称微商，实际是两个微分之商.其几何意义是函数 f(x)曲线切线的斜率；积分∫df=∫f′(x)dx实际是对微分式df=f′(x)dx两边求和；而复合函数 f[φ(x)]的微分式则体现了诸微分之间的变换.倘若将其中某一个dφ改作Δφ，譬如改作，则含义将完全不同，原来的微分式将不再成立，除非Δφ严格地趋向于0.

鉴于在前面的证明过程中“在高温极限T≫θr下令dl=1”这种处理方式确实可行.这样便有

将式（8）代入式（4），消去右边第2项后得

5 结论

求和转化为定积分的必要条件是积分变量x的每个子区间Δxi（或dx）必须一致地趋向于0.本文中所经历的两个积分步骤即式（2）和式（3）可被认为满足了该定积分条件，积分结果也与严格的求和结果相符.由此可见，现行的《统计物理学》教材中对异核双原子分子转动自由度的配分函数取高温极限时所采用的计算方法本质上是符合定积分及微分法则的，是正确的，只是未能细加阐述，留下了一点缺憾.至于本文所介绍的这种谬误，其根源在于对微积分知识认识上的不足.由于这种错误具有隐蔽性、基本性和普遍性，因此在科研领域很有可能会经常发生，造成不该有的损失.从这个意义上说，本文在数学处理方面的借鉴意义，甚至大于物理知识本身.

［1］汪志诚.热力学·统计物理［M］.5版.北京：高等教育出版社，2013：209.

［2］钟云霄.热力学与统计物理［M］.北京：科学出版社，1988：176.

［3］马本堃，高尚惠，孙煜.热力学与统计物理学［M］.2版.北京：高等教育出版社，1995：235.

［4］龚昌德.热力学与统计物理学［M］.北京：高等教育出版社，1982：203.

［5］苏汝铿.统计物理学［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：180.

［6］胡承正.热力学与统计物理学［M］.北京：科学出版社，2009：130.

Proof and a Fallacy Analysis of the Integral Formula of the Rotational Partition Function of Heteronuclear Diatomic Molecules in the High Temperature Limit

SHAO Yun
（School of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang College，211171，Nanjing，Jiangsu，China）

In the current textbooks of statistical physics，there has a unified calculation method on rotational partition function of the heteronuclear diatomic molecules from the summation form into the integral form at high temperatures.However，many teachers and students are suspicious of the method，even someone comes up with a kind of specious calculation method.This paper will provide necessary analysis and evidence on the calculation method in the textbooks according to the definition of calculus，and somebody′s misunder⁃standing will also be corrected.

heteronuclear diatomic molecule；rotational partition function；high temperature limit

O 561

A

2095-0691（2016）04-0056-05

2016-06-20

邵 云（1973- ），男，江苏镇江人，讲师，研究方向：理论物理.