□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学 董方泽

利用轴对称变换求最短路径问题

□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学 董方泽

【课本原型】浙教版八上书本P50例2。如图，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。

解法：作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′，与直线l相交于点P，连结BP。骑马少年沿折线A-P-B的路线行走时路程最短。

证明：如图，在直线l上任取一点P′（与点P不重合），连结AP′，BP′，B′P′．

由轴对称的性质知，BP=B′P，BP′=B′P′

∴AP+BP=AP+B′P=AB′，AP′+BP′=AP′+B′P′

在△AB′P′中，AB′＜AP′+B′P′

∴AP+BP＜AP′+BP′。

即AP+BP最短。

“最短路径问题”的原型就来自于“饮马问题”，要解决这一问题，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题，它离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理。在日常生活、工作中，也经常会遇到有关行程路线的问题，我们把这类求近道的问题统称最短线路问题，出题者通常以直线、角、三角形、特殊四边形、坐标轴等对称图形为背景。本文就在“最短路径”中探寻一番，举例分析，帮助同学们学习。

【迁移与拓展】

1.一点两线（相交）解决周长最短。

如图所示，点P为一处马厩，ON为草原的边缘（下方为草原），OM为一条河流。清晨，骑马少年要从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后再回到马厩。请帮他设计一条最近的行走路线。

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于OM，ON的对称点分别为P1、P2，连P1P2交OM、ON于点A、B。此时ΔPAB的周长PA+PB+AB=P1P2为最小。(证明略)

2.二点两线（相交）解决周长最短。

如图所示，P为帐篷，Q为马厩，骑马少年某天要从马厩牵出马，先到草地边ON的某一处牧马，再到河边OM饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。……