江苏省苏州第十中学 (215006)

徐 青



涉及圆锥曲线焦点三角形旁(内)切圆的一个性质及引申

江苏省苏州第十中学 (215006)

徐 青

有关圆锥曲线焦点三角形旁(内)切圆的性质很多，笔者借助超级几何画板，得到了一个新性质，并对其作了探究引申，现介绍如下，供同行参考.

图1

(1)A,P,D三点共线；

(2)延长PF2交椭圆于另一点Q，设直线APD与椭圆的右准线l交于点R,则Q,B,R三点共线.

由焦半径公式，m+n=2a,m-n=2ex0，得

在证明过程中得xE=a,说明圆E与x轴切于椭圆顶点，这是我们非常熟悉的结论.

对性质1(1)逆向探究易得：

证明留给读者.

在图1中，通过几何画板作图发现，当准线上的点R移动时，若R、P、A三点不共线，则R、Q、B三点也不共线，但仍有如下性质：

图2

(1)A,D,P三点共线；

(2)延长PF2交双曲线于点Q，设直线ADP与双曲线的右准线l交于点R,则Q,B,R三点共线.

上述性质的证明与椭圆性质证明完全一样，这里从略.

如果把无穷远点看成是抛物线的另一焦点，上述性质还可以类比到抛物线中，限于篇幅，不再赘述.