安佰玲，黄保军，杜翠真

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

1 引言

在空间曲面一般理论中，曲面可以看作一族曲线沿其准线运动所形成的轨迹，对曲线族生成曲面而言，准线就是和曲线族中的每一条曲线均相交的空间曲线.准线方程的确定对于研究曲面的几何特征和形状有着重要的价值.一方面，确定一条准线的方程是建立曲面方程的前提，另一方面对于给定方程的曲面的几何特征也可通过其上的一条准线方程研究.笔者在教学中发现大多数学生对锥面准线的几何特征的描述比较清晰，但就具体一个锥面的方程，如何确定其一条准线这一问题，存在两个误区：任一个不过顶点的平面与锥面的交线均可作为锥面的准线；对于顶点在原点的锥面为其一条准线.本文主要针对上述两个误区，分析其错误根源，并给出确定一般锥面上一条准线方程的一般方法，在此基础上给出二次锥面准线方程的特征.

下面给出本文所需要的相关结论与约定记号.

定义1．1［1］对于空间中的一条曲线Γ和不在曲线Γ 上的一点A，通过点A并与曲线Γ 相交的一族直线构成的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，曲线Γ 称为锥面的准线.

引理1.1［2］一个关于x-a,y-b,z-c的n(n＞0)次齐次方程表示一个以A(a,b,c)为顶点的锥面.

引理1.2［1］k≠0 为准线，顶点在原点的锥面方程为

引理1.3锥面与过锥面顶点的平面的交线或者为顶点或者为直线.

为下文叙述方便，约定：

λ1,λ2,λ3为A的特征值，q1,q2,q3为A的属于λ1,λ2,λ3的相互正交的单位特征向量，记

2 一般锥面准线方程的特征

由定义1可知，空间中任意一条不过顶点且与锥面每一条直母线相交的曲线均可作为锥面的准线，于是特别地，取一个不过顶点，且与每条直母线均相交的平面，其与锥面的交线可作为锥面的准线.下面的定理结合准线的几何特征，给出一种准线的解析式.

定理2.1设锥面S:F(x,y,z)=0，P0(x0,y0,z0)为S的顶点，则为S的一条准线⇔Ax0+By0+Cz0+D≠0,且

不表示直线（或者说只表示一个点）.

证明设平面 π:Ax+By+Cz+D=0，由定义1 可知，为S的一条准线⇔P0(x0,y0,z0)∉Γ，且S上不存在与 π 平行的直线 ⇔P0(x0,y0,z0)∉ π，且S与 πP0的交线不是直线，其中πP0为过P0且与 π 平行的平面 ⇔Ax0+By0+Cz0+D≠0,且不表示直线.

由引理3，方程组（*）不表示直线，意味着方程组（*）只表示一个点即顶点.

推论1设S:F(x,y,z)=0 为顶点在原点的锥面，则为S的一条准线⇔D≠0,且方程组

证明推论1的证明由定理2.1即得.

推论2设顶点在原点的锥面S:F(x,y,z)=0，F(x,y,z)=0 可变形为，则为S的一条准线⇔F(x,y,0)=0 只有零解.

证明由定理2.1及推论1即得.

根据定理1及推论1，2可以发现，并不是任取一个不过顶点的平面π，其与锥面S的交线Γ 均可作为锥面的一条准线，如果将该平面平移使其经过顶点，其与锥面交于直线，那么S上存在与Γ 不交的直线，因此Γ 不能作为S的准线.同理，虽然引理2表明以

未必是S的一条准线，因为方程组有可能表示直线.

3 二次锥面准线方程的特征

由高等代数中实对称矩阵的对角化理论可知，

若λ1,λ2,λ3均不为零，上式配方为

于是

于是当λ1λ2λ3≠0,且λ1,λ2,λ3中有两个是同号时（不妨设λ3与λ1,λ2的符号不同），则二次曲面S:Φ(x,y,z)=0 表示一个顶点为的锥面，且，为S上的一条准线.

于是得到下面的定理

定理3.1二次曲面S:Φ(x,y,z)=0 表示一个顶点为的锥面 ⇔λ1λ2λ3≠0,λ1,λ2,λ3中有两个是同号

对于满足定理3.1的二次锥面S:Φ(x,y,z)=0，若λ1,λ2符号相同，则，为S上的一条准线，特别的若为S上的一条准线.

4 应用举例

例1下列哪些方程表示锥面，若是锥面，则请指出它的顶点坐标及一条准线的方程：

（1）解 由于方程2x2+y2-z2=0 可变形为，具备的形式特点，k=1，且F(x,y,0)=2x2+y2=0 只有零解.由推论2可知为S的一条准线.

（2）解 由引理1可知，3x2=2yz表示一个顶点在原点的锥面，由于均为锥面的母线，于是坐标面与锥面的交线一定是直线，亦即任意一个不过原点且与坐标面平行的平面与锥面的交线均不可作为其准线.此时推论2对应的确定锥面准线方程的方法失效.根据推论1，可选取一个过原点且和锥面只交于原点的平面π:y+z=0，由于方程组只有零解，于是均可作为锥面的一条准线.

例2试证明表示一个锥面，并求出锥面的顶点与其上的一条准线的方程.

证明由，解得λ1,2=-1,λ3=5，且

由定理3.1 可知，曲面S为一以(0 ,0,顶点的锥面，又因为λ3＞0 与λ1,λ2的符号不同，且，于是得到S上的一条准线的方程

［1］郑崇友.几何学引论［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［2］李养成.空间解析几何［M］.北京：科学出版社，2007.

［3］吕林根.解析几何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2005.