江苏省如皋市第一中学 (226500)

潘 佩



基于重要方法应用的微专题复习
——以“高考中的构造法应用”为例

江苏省如皋市第一中学 (226500)

潘 佩

基于数学重要方法进行应用是微专题设置的一种重要方式．数学复习有两条线：一条是明线，即数学知识的复习；一条是暗线，即数学思想方法的复习．而数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是学生把知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好数学观念和创新思维的载体，是衡量数学核心素养和数学能力的重要标志．下面，以“高考中的构造法应用”为例，谈谈笔者对基于重要方法应用的微专题复习的认识．

本专题用时为1课时．本节课的教学对象是江苏省四星级高中如皋市第一中学的学生，学生数学基础掌握较扎实、思维能力较强，有一定的自主探究的意识和合作交流的能力．本节课的教学实录如下：

一、教学片断实录

师：著名数学家G·波利亚(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)说：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动”，而这一重要的思维活动就是我们通常所说的构造法.所谓“构造法”是指在解题时，我们常常会通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而找到解决问题的思路、方法．此法重在“构造”，它体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解决问题的方法.

师：历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题.近几年来，构造法及其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学高考中有着一定的地位.(激发学生的求知欲)(小组讨论5＇)

图1

师：下面请一位同学谈一谈该题应如何解.

学生1：(另配图)教师板书

师：除此之外，是否还有其他解法？请大家再次认真审题.

(教师巡视3分钟之后，部分同学喜上眉梢，仍有不少同学眉头紧锁.)

师：从刚才大家的表现来看，可能一些同学已经有了思路，下面以小组为单位，对刚才的思考进行交流，看看能否擦出思维的火花.

(教师巡视5分钟之后，讨论渐息，大部分同学似乎有些收获.)

师：哪个小组派出代表交流体会，可以是成功的解法，请将其所以然道明，当然也可以是困惑，那么直击你的困惑.

图2

(教室内学生不由自主掌声响起)

师：哪位同学来评价一下？

生3：这种图形构造很巧妙，看来要构建直角坐标系，除了有垂直、等腰等条件之外，特殊角如出现60°,45°，也可以创造性构建直角坐标系.

师：(适时点拨)这样我们可以把定性问题转化为定量问题，或由一般定量问题转化为更精准的定量问题.

师：(趁热打铁)向量数量积的求法在这儿已经有了两席，即：基底转化(化未知向量为已知向量)，坐标化构造法，想想是否还可以有其它的破题角度吗？

生4：(跑到讲台，在黑板上也画了个图)

图3

(此时又是一阵掌声)

师：哪位同学谈谈对这个解法的思考？

生5：有点意外，又合乎情理！

师：此话怎讲？

生5：有点意外的意思是平时不太自觉地运用向量数量积的几何意义来解题，但从刚才的过程可以看出，还是很方便的.合乎情理的意思是向量数量积的几何意义是向量数量积定义的几何解释，也是一种重要的处理手段，又应该向这个方向去思考.

师：我在批阅时也发现有同学有这样的想法，可能受到原题中图形形状的影响，直观性得不到体现，解题过程受阻.因此将图形转换到合适的状态下，进而构造出相似三角形.

师：看来收获不小呢！再接再厉，还有其它想法没有？

(沉默了好一会儿)

生6：老师我们小组有个想法，图形转换到合适状态，将图形特殊化，构造成两个特殊图形，如图4，图5，仿生2的做法即可.(解答与生2类似，坐标法略)

图4 图5

师：你是怎么想到的呢？

图6

师：了不起的想法，与生2比较，图形特殊化，运算简单，解法优化.点个赞！

师：这叫什么方法？

生：(众)极限构造法

师：(追问)你是怎么想到的？

(一阵惊叹，一阵掌声)

师：太好了！我们一起为该同学点赞！

师：同学们，今天大家从多角度对该题进行了剖析，让一道解法单一的向量小题精神焕发、活力四射，让我们体验了对答题深入细致的剖析、积极主动的交流、充满灵性的思维带来的真正价值.下面我们趁热打铁，对原题进行适当的引申拓展：

(同学们静静地在纸上演算着…，不一会儿，就有了答案，笔者经过查看，上述几种解法都有，限于篇幅，此处仅举一种解法，其余不再一一赘述.)

生8：我是按极限的观点来思考的(配图).

图7

图8

生10：按生5、生6、生7的思考：

图9

师：(总结)在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造．

构造法解题过程的程序框图：

图10

二、实践反思

1.在解题练习中培养数学思想方法

在问题解决中运用思想方法，增强了学生自觉运用数学思想方法的意识.解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与所求结论间的差异的过程.用数学思想方法，进行一题多解的练习，有助于培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，有助于培养思维的深刻性，抽象性.

2.在复习小结基础知识中培养思想方法

在基础知识的复习小结中要注重知识的内在联系，要揭示数学思想方法在知识互相联系、互相沟通的关系，充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法.本题是关于平面向量的基础知识的考查，本身难度不大，属于中档题，可以依靠向量本身的运算性质到相应的结论.但是如果采用向量的几何运算，就可以使运算得以简化，有思维量而少计算量，而且整个思维过程充满技巧，小巧而有趣，充分反应了平面几何和平面向量交汇点试题巧妙的特点.另外，构造法的威力不可小觑，数形结合的思想是创新解题中永恒的主题.

总之，“微专题”实施，不是标新立异，不是对传统经典专题的否定和颠覆，而是有机穿插，“以小见大”，旨在一改以往复习课的沉闷、枯燥和低效，力求把学生带进复习的“场”中，促其主动地学，有效地学.当然“微专题”的实施，对教师自身也提出了更高的要求，促使教师不断走进生本和文本的更深处，充分驾驭课堂和学生，这样的课堂才充满生机和无限魅力.