福建省南安市教师进修学校 (362300)

陈俊斌



基于数学运算核心素养的试题评析

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陈俊斌

2014年3月,《全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出着力推进关键领域和主要环节改革，研究制订学生发展核心素养体系和学科核心素养体系，提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象，数据分析；同时贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念.本文结合自身的认识，谈谈如何从“数学运算素养”的角度进行试题讲评，以达抛砖引玉的效果.

一、理解运算对象，边算边思

数学概念的复习要准确到位，要通过具体问题的分析来理清概念的内涵、外延，明确它们在学科知识系统中的地位和作用，从而正确地使用它们来解决有关数学问题.如求函数最值问题，教师常常利用导数法来研究，而缺乏运算素养的培育，即根据问题的条件探求合理、简捷的运算途径，求得运算结果.

例1 (2013年高考全国Ⅰ卷理科第16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是 .

解法一采用的是求函数最值的通法：先求导后借助单调性求最大值.解决本题对学生运算能力要求很高，须先进行基本的代数式运算(两个二次式相乘)，对函数求导后，又须求解一元三次方程(要根据图像的对称性判断出-2为f′(x)的一个零点)，后在判断两个极大值大小关系时运算量仍不小，最后才得出f(x)的最大值是16.若教师在日常教学过程中能注意学生运算素养的培养，提醒学生解题时要“边算边思”则学生在本题求出a、b值后，便能根据f(x)表达式的特点进行简单的变形，从而得出如下的便捷解法.

此外，根据f(x)特点我们也还可以采用换元的方法转换成求二次函数最值的方法等等.

二、关注数学本质，柳暗花明

有关函数奇偶性研究问题上，我们常常是借助对称性由其一侧性质研究另一侧性质，却较少关注对称性的本质(如奇函数最大值、最小值互为相反数等).上题求解函数最大值的过程中，利用导数法求解时，虽说运算量大，不好求，但仍然可以求出.下述例子也是有关函数的最值问题，如果仍采用此法，则会碰到极值点求不出的情况，这时我们可根据函数解析式的特殊情况，进行适当的代数变形，便可把最值关系与对称性结合起来研究.

例2 (2012年高考全国Ⅱ卷文科第16题)

点评：数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.本题讲解有两个关键点：一是对所给函数关系式进行分拆式的运算(类似于分离变量法);一是从数量关系运算中推导出奇函数对称性的本质：最大值与最小值互为相反数.因此通过本题的讲解，学生能够进一步发展数学运算能力，促进数学思维发展，培养数学运算核心素养，从而在后续学习中更容易抓住函数概念的本质.

三、“心求通而未得”，追本溯源

解析几何的本质是用代数的方法研究几何，很多师生似乎有同感：解析几何试题是数学考试难中之难.在数学学习的过程中，学生常会碰到一些背景熟悉、解法思路很常规的解析几何试题，这种情况下，他们心里有想法，也乐于进行尝试，但由于种种原因，却无法正确解答，这时可以让学生追本溯源，回归定义，比如下面的例题.

分析：本题要求双曲线的渐近线方程，关键是求出a、b之间的关系.

图1

图2

点评：本解法先是从双曲线的定义出发得到两个关系式，后根据PQ、QF长度关系引入参数m，并在Rt△QPF2中据勾股定理列式，最后才在焦点△PF1F2求解a、c的关系.比对上述常规解法，不仅解答更为简洁明快，更是巧妙地避开了复杂的运算量及繁杂的关系代换.整个解法过程中，算得有方向，算得有思路，本试题既有效地关注了学生的运算素养，又十分注重图形性质的运用以及数形结合思想的渗透(直观想象核心素养).当然此法对学生运算素养的要求不低，要求学生引进参数，活用平几知识.

数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所达成的综合性能力，是广大数学教育工作者在数学学科的教与学过程应当特别关注的基本素养.《普通高中数学课程标准(实验)》在课程总目标中指出：“高中数学课程应该使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人的发展与社会的进步的需要.”数学课程标准如此强调数学素养的重要性,因此，本文仅以三道试题评析谈谈我对“数学运算”素养的认识，笔者认为，从“三大能力”中的“计算”到五大能力“运算求解、数据处理”，再到教育部《高中数学课程标准》研制组组长、首都师范大学博士生导师王尚志教授提出的“数学运算素养”，数学始终离不开数学运算，运算素养是学生适应未来社会一个最基本的素养.只要我们在平时的教学过程中多关注运算素养的培养，学生的数学素养必将有所提升.