江苏省锡山高级中学 (214174)

钱桂荣



数学解题让人缜密而聪慧
——以直线与圆锥曲线的关系为例

江苏省锡山高级中学 (214174)

钱桂荣

缜密，意思是严谨而周密，聪慧是聪明而智慧.缜密是聪慧的表现，是认识的高级阶段，属于理性认识，反映出严谨的理性精神和良好的科学素养.

问题是数学的心脏，数学解题是数学活动的基本形式.数学解题能够考查“四基”(基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验)，能够创造问题情境很好地考查“四能”(从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力).通过数学解题可以提升学生的具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与必备品质，即数学核心素养.事实上，数学核心素养，通俗地讲就是把所学的数学知识(数学公式、定理、解题方法等)都排出或忘掉后所剩下的东西.这个东西总体来说就是缜密与聪慧，就是能从数学角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力；就是个体面对复杂的、不确定的情境时，综合运用数学知识、观念、方法解决实际问题所表现出来的关键能力与必备品质.

直线与圆锥曲线问题解决能很好地培养学生考虑问题的缜密，体现解决问题的聪慧.但是经常听老师说：“不繁就不叫解析几何”，对于直线与圆锥曲线学生习惯于套用解题的固有套路与程式死算硬推，运算求解不讲“算理”，“韧”性有余而“灵”性不足.不仅错失了培养学生缜密思维、提高聪慧水平的良机，而且增加了学生对解析几何的畏惧与厌烦心理！下面就以一道常规的直线与圆锥曲线问题为例说明数学解题如何让人缜密而聪慧.

图1

一、缜密地考虑问题

二、聪慧地选择方法

三、超出缜密的“大聪慧”

本题的解法既考虑到直线斜率存在与否，在直线斜率存在时，由于两条直线互相垂直，又讨论斜率是否为0，考虑问题可谓缜密全面.在求直线截圆和截椭圆所得弦长时，能够紧扣本题的特点，不死搬硬套通性通法，而且在求目标函数最大值时的换元法也是简单有效、耳目一新，整个解题过程缜密而聪慧.

四、使人缜密而聪慧的解题教学建议

1.在讨论中查漏补缺，增强解题的缜密性

每个人都有自己的思维习惯，时间长了往往就形成一定的思维定式，考虑问题可能会有失偏颇，会漏掉一些细节，使得解题过程不够严谨，这样不利于培养解题的缜密性，而师生之间互相讨论交流往往可以使问题水落石出，如上述问题中直线斜率存在与否的讨论，如果让学生到讲台展示，其他学生讨论，问题很快就会被发现并得到很好的解决.解题的缜密性要注意以下几个方面：问题所涉及的数学概念需不需要分类(如绝对值的定义)；问题所涉及的定理、公式、运算性质与法则有没有条件限制(如等比数列求和公式中公比q=1与否的讨论)；数学对象的性质是不是分类给出的(如指数函数、对数函数的单调性)；图形位置的不同是否会引起结论形式或处理方法的不同等等.

2．在实践操作中甄别算法，提升运算能力

运算求解贯穿于数学解题的始终，运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.提高运算求解能力的关键不仅仅是细心，更重要的是算理，要让“思”在“算”之前，“算”在“思”之后.通过“思”，明确运算的方向，优化解题的方法，并对运算的结果有一定的预见性.一些常见的方法，如换元法、代入法、分离变量法等能有效的简化运算，提高运算效率，这些必须在解题的过程中亲身去体验，去思考.数学学习中要重视计算，涉及到计算问题，务必去做一做，算一算，尤其解析几何问题，注意算理，比较算法，最终提高运算的准确性和速度.

3．在反思比较中体验解题策略，培养创新意识

数学学习的过程与解题密切相关，数学能力的提高不仅在于解题的数量，更在于解题的质量.通过反思，明确解题思路、知识背景、方法背景等；通过比较，明确问题的一般思维出发点和问题的不同切入点，守住通法，如山之稳重；也要催生巧法，如水之灵动.真正做到举一反三，培养创新意识，提高解决新问题的能力，最终使学生变得缜密而聪慧.