江苏省姜堰中学 (225500)

周 鹏●



过程操作：数学教学价值的应然旨归

江苏省姜堰中学 (225500)

周 鹏●

注重数学课堂的“过程操作”，对学生的数学学习“过程操作”进行“数学化”的压缩，将“过程操作”形式化、公理化，引领学生对形式化的抽象数学知识的形成过程进行充分地观察、描述，逐步地抽象、概括，系统地反思、推理等，实现学生数学思维的提升.

具体;抽象;凝聚;思维;操作

本世纪初，英国数学教育家David Tall在融合了认知主义、结构主义和建构主义等的相关理论后，提出了“数学世界”是数学的“具体化世界”“符号化世界”“形式化世界”的有机交织，认为在学生的学习过程中，他们首先是感性地描述、表征，然后是演绎，进行“逻辑的推理”，最后是提取对象的性质，形成对数学知识的本质认识，产生形式化的定义、公理体系等.在高中数学教学中，我们要立足于学生对数学知识多元化的“心理表征”，对知识形成步骤精致化的“过程操作”和对数学知识简约化的“抽象凝聚”.在这一系列过程中，要找准数学知识的生发点、生长点、生成点和延伸点.要对数学知识进行“精致化加工”,以让学生精准化地掌握数学知识.

一、关注多样化的“心理表征”，凸显数学知识的本质属性

学生认知数学知识是在已有的心理图式上进行的，学习数学知识首先是建立心理表征.在高中数学教学中，帮助学生建立多元的知识心理表征可以扩充数学知识的联结，增强数学知识的触发点、延展点.例如高中数学教材中的“函数”概念，学生刚开始学习时同样需要调动头脑中相关的表象如“炮弹的轨迹”等进行认知加工，当抽象出函数的表达式后，学生就进入了符号化的加工，最后对函数概念形成本质认识，这时，学生实质上就是进入了函数的形式化世界.再如“等差数列”的概念，在学生通晓生活中常见的等差数列现象之后，笔者让学生建立起多样化的心理表征.如建立的文字形式是：从第二项开始的每一项与前一项的差始终是同一个常数；用通项的符号表征是：an-an-1=d(d为常数，n≥2)或者2an=an-1+an+1(n≥2)或者an=kn+b(k、b为常数)；用图形表征就是：建立以(n，an)为坐标的点在一条直线上的表征；或Sn=An2+Bn(A、B是常数)，或者建立点(n，Sn)在过原点的抛物线上等.多元化的心理表征凸显着数学知识的本质属性，有助于学生对数学知识的理解和完整建构.

二、引领精致化的“过程操作”，让学生步步数学实践、创造

数学的“过程操作”主要是让学生经历数学知识的形成过程，这个过程伴随着学生的感知、推理、抽象等的认知活动.数学作为人类“生命·实践”智慧的结晶，理应让学生重蹈其中的关键步子.在高中数学教学中，如果学生没有经历猜想、验证、判断、比较、质疑、选择等的探究过程，没有自我的分析与综合等的认知活动，没有彼此争论、碰撞等的观点交流活动，学生就不能深刻理解抽象化的知识.例如“任意角”的概念，教学前首先要分析学生的认知水平，并且对数学教材进行充分地解读.然后通过实例(如钟表的旋转、体操运动员的旋转、扳手拧动螺丝的旋转等)引入“任意角”概念.接着引领学生逐层探究：如何定义任意角(旋转方向和旋转量)；如何设定标准(引入象限角)；如何将角放入平面直角坐标系中？终边相同的角如何用集合表示？通过精致化的“过程操作”，学生对任意角(正角、负角、零角)、象限角、终边相同角的集合S={β|β=α+k×360，k∈Z}等知识有了精准的掌握.在这个过程中，学生运用了“数形结合”(画图操作)思想、类比思想(从数的扩充等现象联想到角的扩充)、化归思想(终边相同的角的集合)、分类思想(k的不同导致角的象限不同)等.在这里，数学超越了机械的“模仿”和纯粹的“纸笔训练”，学生步步进行着数学实践、数学创造.

三、推进简约化的“抽象凝聚”，建立相关数学概念间的关联

高中数学的学习需要呈现知识的不同层面.数学的“具体化世界”呈现着学生能够进行数学理解的感性材料，使学生产生了多样化的心理表征；数学的“符号化世界”让学生经历着数学抽象知识的诞生过程，领悟着数学知识生长、生成的关键节点；数学的“形式化世界”是对数学知识的必要凝聚、简约抽象.如此，学生充分地展开着“数学化”活动，提升着思维经验、方法经验与思想经验，学生对数学知识由“工具性理解”导向“关系性理解”，进而实现“创新性理解”.

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