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辩证审题,多方出击

2016-12-12新疆喀什市兵团农三师第一中学袁红霞

学苑教育 2016年8期
关键词:延长线证法辅助线

新疆喀什市兵团农三师第一中学 袁红霞

辩证审题,多方出击

新疆喀什市兵团农三师第一中学 袁红霞

数学 辩证 审题

数学王国里处处充满了辩证法,尤其是数学解题更离不开辩证法.从审题这个初始环节就应以辩证的眼光来看待新遇到的问题.唯有这样,才有可能较圆满地解答问题.下面先从一个极小的例子说起.

例1,用简便的方法求出下列式子的值:①992②102

①解法1:992=(100-1)2

=1002-2×100×1+12

=10000-200+1=9801

解法2:992=992-12+12

=(99+1)(99-1)+1

=100×98+1=9801

②解法1:1022=(100+2)2

=1002+4×100+22

=10000+400+4=10404

解法2:1022=1022-22+22

=(102+2)(102-2)+4

=104×100+4=10404

说明:以上题中的解法1分别将99与102视为地地道道的完全平方形式,于是均采用完全平方公式的知识来解决;而对于各题的解法2,却出奇地将99与102看成是一个代数式的残余形式.大多数人的解法倾向于解法1,只有少数人采用解法2来完成解题.从这点上来看,人们侧重了完全形式,时常忽略残存形式.从而导致解题思路狭窄,降低了解题能力.为了进一步阐述我们的观点,不妨再举一例试试.

由于审题角度不同,所引的辅助线也不相同,因此证明的方法也不一样.

证法1,如图1,作EG∥FC交BC于G.

(注:其中辅助线EG分别是△DAC与△BCF的公共“横梁”,也是联系已知条件的桥梁,更是构造双“A”型基本图形的例子).

图1

图2

证法2,作EG∥BC交AC于G(如图2)

(注:所引辅助线EG显然是△DAC与△FBC中的公用“横梁”,且仍为已知条件和待证结论的桥梁,还是构造双“A”型基本图形的范例).

证法3,作DG∥BF交AC于G(如图3)

(注:可以看出辅助线DG是“A”型△CBF的“横梁”,同时又是“A”型△ADG的“底边”.是连接已知条件和所求式子的桥梁).

图3

图4

证法4,作DG∥AC交BF于G(如图4)

(注:显然辅助线 DG既是“A”型△BCF的“横梁”,又是“Z”型图型的一边.因此,它是架起已知条件和所求式子的桥梁).

证法5,作AG∥BC交BF的延长线于G(如图5)

(注:辅助线AG是凹四边形ABCG的一边,但同时它又是双“Z”型AEBDG与AFBCG的公共边.因而它是沟通已知条件与待证式之间的一座桥梁).

图5

证法6,作AG∥BF,交CB的延长线于G(如图6)

图6

(注:辅助线AG是双“A”型△CAG与△DAG的“底边”,它也起到了联结已知条件和所求目标式子的纽带作用).

证法7,作BG∥AC交AD的延长线于G(如图7)

图7

(注:不难看出新引辅助线BG是双“Z”型ABGEF和ABGDC的公共边,它铺设了已知条件和待证式子之间的一条通道).

由上述几种不同证法中获悉,前四种证法当中,皆把△ABC当成一个完整的图形,从而引辅助线都从△ABC的内部来着手考虑;然而后面三种证法恰恰把△ABC视为凹四边形ABGC或△AGC的残缺部分,因此新添加的辅助线是从△ABC的形外部分入手的.这是全面审视△ABC所处的位置来做出的判断.

此外,在如何添加辅助线的方法上,需要考虑的因素是该辅助线是否既能与线段AE,AD联系上,又能与线段BD, DC联系到一块.即该辅助线必须满足它是双“A”型三角形的某一公共部分,或者是双“Z”型图形中的某一公共线段,再或者是“A”型与“Z”型混合型图形的公共部分.若违反了这个原则,则所引的辅助线将不能帮助人们顺利地达到证明目标.

此上是我们的一点肤浅感悟,恳请大家提出宝贵意见,指明方向,以求更加深刻地认识事物.

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