李宁,雷倩,杨晗

(西南交通大学数学学院,四川成都611756)

一类四阶非线性波动方程解的爆破与衰减

李宁,雷倩,杨晗

(西南交通大学数学学院,四川成都611756)

本文研究了非线性阻尼项与源项的竞争对具有强阻尼项的四阶波动方程解的影响.利用不动点原理和势井方法给出了方程局部弱解存在唯一性满足的条件,证明了当m＜p且初始能量E(0)＜0时,解将在有限时间内爆破.同时对m,p的大小关系不加任何限制但存在t0使0＜E(t0)＜d的情况下,利用稳定集,研究了整体解的存在性,并得到了解的能量衰减估计.最后借助修正的能量泛函,指出当m≥p时弱解也是整体存在的,推广并改进了文献[1-6]中的结果.

强阻尼项;四阶波动方程;势井;爆破;衰减估计

1　引言

本文将研究如下具有强阻尼项的四阶非线性波动方程的初边值问题

其中m,p＞1,Ω是Rn中具有光滑边界的有界区域.问题(1.1)描述的是粘弹性微观物体的实际运动过程.事实上,物体在运动时周围的介质产生的阻尼和力源,特别是强阻尼,对物体内部能量的积聚起着重要的耗散作用,因此在实际模型中需要加以考虑.

当方程(1.1)中的强阻尼项∆ut和线性项u缺失时,非线性弱阻尼项和非线性源项之间的相互作用对解的影响已被很多作者考虑过.2002年,Messaoudi在文[1]中指出当m≥p时,初始值的弱解是整体存在的,当m＜p且初始能量E(0)＜0时,解将在有限时间里爆破;同时,Messaoudi在文[2]中拓展了在文[1]中的结果,指出当初始数据选择合适的值时,不需讨论m,p的大小关系,得到……