陈凤华,李双安

(郑州工商学院公共基础教学部,河南郑州451400)

修正HS共轭梯度法在大规模信号重构问题中的应用

陈凤华,李双安

(郑州工商学院公共基础教学部,河南郑州451400)

本文研究了压缩感知在大规模信号恢复问题中应用的问题.利用修正HS共轭梯度法及光滑化方法,获得了具有较好重构效果的算法.数值实验表明用修正HS共轭梯度法解决大规模信号恢复问题是可行的.

压缩感知;修正HS共轭梯度法;稀疏信号;Nesterov光滑技术

1　引言

在压缩感知问题中,若先验知道原信号在某个变换下是可压缩的(或是稀疏的),则可以通过如下一个最小ℓ0范数问题恢复信号

这里ℓ0范数表示向量非零元素的个数.但是求解最小ℓ0范数问题是一个NP难问题,即最小ℓ0范数问题的求解需要列举原信号中非零值的所有排列组合情况,计算量巨大,相关研究见文献[1].

此后,人们转而求解最小ℓ1范数问题,而且证明了在一定的条件下,最小ℓ1范数问题和最小ℓ0范数问题的解是等价的,见文献[2].因此问题(1.1)转化为求解下面的最小ℓ1范数问题

最小ℓ1范数问题的求解是一个凸优化问题,这个问题能够转化为线性规划问题,见文献[3,4].然而在实际中求解线性规划问题(1.2)是很难的.在压缩感知问题中,当矩阵A是大且稠密的,线性规划问题(1.2)常常是病态的.设矩阵A是行满秩的,问题(1.2)可转化为ℓ1正则化最小二乘问题(见文献[5])

这里λ是正则化参数.

2　算法

因为‖u‖1是关于u的非光滑凸函数,所以对于问题(1.3),次梯度……