◇谢玉娓 林俊峰

把握学情 丰富感知 适度抽象
——“认识角”教学思考

◇谢玉娓 林俊峰

近期，在北师大版教材的回访与培训活动中，我执教了二年级下册第六单元“认识图形”中“认识角”一课，这是学生第一次正式接触角的概念。角作为一个抽象图形，与学生头脑中想象的生活中的墙角、桌角不尽相同，本节内容学习的是平面上的角。如何结合生活实际，让学生经历从实际物体中抽象出角的过程，直观感知“角”呢？笔者进行了尝试，取得不错的教学效果。

一 为教学 “把脉”：意想不到的学情

（一）部分老师预想的学情。

学习本节课之前，学生对数学上的“角”已经知道了什么？老师又是怎么预想的呢？我访谈了部分老师。

教师甲（刚走上讲台不到1年的新教师）：这个内容太简单了，重点应该是让学生掌握角的组成和各部分名称，我觉得10分钟就能上完新课。

教师乙（工作2年半）：去年我也执教了这节课，当时我把“比较角的大小”放在了同一课时，不然我觉得这节课的内容太少了。

教师丙（工作4年半）：北师大第三版的教材是将“角的大小比较”与“认识角”放在同一课时的，新版教材将“角的大小比较”后移到了第二课时，这样编排的意图是什么呢？我能否将这一内容也放在第一课时上呢？

从老师的想法中不难发现：他们觉得学生学习角的难度不大。虽然是三位入职时间不长老师的看法，但在一定程度上也代表了部分老师的想法。

（二）意想不到的学情。

事实果真如此吗？通过前测与访谈，我们发现，学生对角的认识存在以下4个误区：

1.学生头脑中有着墙角、桌角这样的“实物角”，这是他们已有的生活经验。他们往往用“生活角”的眼光感知和描述“数学角”。

2.学生对角的认识常常停留在“点”的状态，甚至个别高年级的学生还会指着长方体上的某个顶点说“这是一个角”。

3.学生难以将“角”从封闭的平面图形中剥离出来，角的图形表象远远少于封闭平面图形的表象。如，请他们找到生活中的角，有的学生会描出电脑屏幕的面的形状（长方形）或三角板的形状（三角形），而不是其中的一个角。

4.学生对角的本质特征的认识模糊不清，这在学习“角的大小比较”时表现更为明显。甚至在第三学段探讨角的对称性时，有的学生会认为“角不是轴对称图形”，因为“角的两边好像不一样长”。

二 对症下药：丰富感知，适度抽象

学生对“角”的认识误区是客观存在的，教学中不可回避，也不能回避。首先，要消除学生生活经验中关于角是“一个点”或“一个封闭平面图形”的错误表象。其次，引导学生充分经历从实物中抽象出角的过程，完成对角的直观认识过程。再次，通过大量的材料感知，经历辨析比较的过程，从而适度抽象出角的本质属性。其中，学习重点是“结合生活实际，经历从实际物体中抽象出角的过程”，学习难点是“完成角的抽象认识过程”。

（一）丰富感知，为抽象奠基。

教学片段一：初识角。

1.说角，充分暴露学生的已有认知。

师：这节课，我们一起来认识角。说说看，关于数学上的角，你知道什么？

生：（拿出一把三角尺）我知道，这上面有角。

师：你能指出它的一个角吗？

生：（分别点着三角尺上的三个顶点）这是一个角……一共有三个角。

师：你找到了三个角，我把你指的这三个角画在黑板上吧。（教师将三角尺按在黑板上，分别将三个点描在黑板上）你们有什么想说的？

生：（摇头反对）这不是角，这只是三个点。

师：同学们说你找到的不是三个角，是三个点，你觉得呢？

生：（面露思考状）嗯，是三个点。

师：那角在哪儿呢？

生：我知道！（用手比画了整个三角尺的形状）这是一个角。

师：（将三角尺的形状描在黑板上）这是一个角吗？

生：（摇头）不对，这是一个三角形。

师：三角形上确实有三个角，但角究竟在哪儿呢？

生：（边说边比画出三角尺上其中一个角的两条边）角在这儿。

生：是。

师：是的，这就是数学上的角，大家把它的样子用手比画出来。

（教师带着学生比画，从点出发，分别描出两条直直的线）

2.找角，从实物中抽象出角。

（1）课件呈现教材中的三幅实物图：剪刀、钟表、红领巾。

问题：你能从每幅图中找到角吗？

学生通过用“剪刀手”模仿剪刀工作时两片刀刃的张合，很快能比画出两片刀刃组成的图形。

（2）结合学生交流，课件动态描出角，如下图。教师指出：剪刀的两片刀刃组成了这样的一个图形（张口可变化，抽象出大小不同的两个角），钟面上的时针和分针组成了这样一个角，红领巾上也有这样的角（课件演示，分别描出角并从实物中剥离，留下角的图形）。

（3）师：这些图形，它们的位置不同、开口方向也不尽相同，那么，它们有没有相同的地方呢？

（鼓励学生个性化的感受和表达，如有两条直直的线，有一个尖尖的地方；也有的学生用手势表达等）

（4）师小结：是的，就像大家所说的，这些图形都有一个尖尖的点，还有两条直直的线，数学上，把像这样的图形叫作“角”。（揭示课题）

3.指角，直观认识角。

师：找一找，在教室里，你能找到哪些角？找到后，用手比画一下它的样子。

4.师引导小结：这些都是角，它们的相同点是什么呢？

(生：都有一个点，还有两条直直的线）

正式学习角之前，学生心目中的角是什么样子的？教师充分利用学习资源，引导学生进行辨析，慢慢消除生活经验中角是一个点或一个封闭图形的错误认知。随后利用课件动态描出角的图形，并呈现不同位置、不同大小、不同张口方向的角，鼓励学生在观察与比较中异中求同，用自己的语言描述角的样子，经历从实际物体中抽象出角的过程，直观认识角，为后续进一步抽象出角的本质特征奠基。

（二）适度抽象，建立角的表象。

教学片段二：再识角。

1.自由画角，初步感受角的组成。

（1）画一画：学生自由画角。

师：刚才大家找到了这么多角，能不能用上你手边的东西，想办法把角请到纸上呢？

学生自由画角，有的描出三角板上的角，有的用自己的“剪刀手”描出角，有的用尺子画出角……

（2）捕捉学生资源，展示不同作品，进行交流反馈与纠错。

2.教师示范画角，进一步体验角的组成。

师：刚才同学们用各种方法画出了自己心目中角的样子，数学上的角该怎么画呢？

师:（示范）先画一个点，再从这个点出发向这个方向画一条直直的线，这条线可以画得短一些，也可以画很长；接着还从这个点出发，向另一个方向再画一条笔直的线。

接着，学生说，教师示范，画两个张口方向不同、大小也不同的角。

3.再次比较，抽象角的本质特征。

师：老师刚才画了三个角。这三个图形，位置不同，张口方向不同，张口大小也不同，可它们都是角。可见，这些角肯定有相同的地方，是什么呢？

生：它们都有一个尖尖的点，还有两条直直的线。

对角的抽象不能一蹴而就，需要在充分感知的基础上，让学生经历概念本质属性的剥离和抽取过程，逐步实现对角的抽象。

在初步感知角的基础上，放手让学生画角，真实反映学生对角的认识，经历将“角”从实物中剥离的过程，而后老师示范画角，借助这一活动体会角的组成。在示范画角的活动中，教师独具匠心地画了三个位置、方向、张口大小各不相同的角，让学生“寻找不同中的相同”，从而把对角的感性认识逐步引向理性认识。

教学片段三：角的特征。

1.认一认，突出角的特征。

（1）自学，知道角的各部分名称。

师：每个角都有一个点和两条直直的线，这个点和这两条线分别叫作角的什么呢？（引导学生自学教科书第62页，看懂了说给同桌听）

（2）认一认：指着黑板上其他角，让学生说、认、指。

（3）除了知道角的各部分名称，你从书上还看懂了什么？（角的符号）

结合学生的汇报，教师示范：在两条线之间画一条圆弧，标上“1”，读作角“1”，记作∠1。同时，在黑板上进行板书。

2.想象与画角，强化角的表象。

（1）让学生闭上眼睛想象一个角。在学生想象的过程中，提示学生想象角的大小、位置等。

（2）请把你刚才想好的这个角，用尺子画在练习本上。

角的各部分名称及角的符号，由学生自学而得，同时渗透用简洁的符号来表示角的符号化思想。在认角各部分名称时，不断强化每个角都有一个顶点和两条边，这样，即使闭上眼睛，学生也能想象出各种大小不同、位置不同、张口方向不一的角的表象。这进一步加强了学生对角的概念的体会，培养其空间观念。

教学片段四：进一步认识角。

标一标，明晰角的内涵。

在下面的图中各找出三个角，标一标（如下图）。

学生独立完成之后，组织学生进行作品展示、交流、纠错。在交流中，学生能清晰地根据角的特征，找出每个图形中的角，逐步明晰角都有一个顶点和两条边。比较有争议的是上面左数第四幅图中学生标出的两个角，如下图所示。有的认为是角，因为它也有一个顶点和两条“边”；有的认为不能说是角，虽然一条边是直的，可是另外一条是弯的。在讨论交流中，学生逐步明晰角的两条边必须是直的，这两个不是角。

“标一标”是在变化的图形中识别角。虽然学生已建立了角的表象，但在封闭的平面图形中剥离出“角”这一元素，还是有一定难度的，这是对角的内涵较高水平的辨别。通过在平面图形中辨认角，再一次加深学生对角的认识。其中的反例更好地突出了“角是由一个顶点和两条直边组成的”这一特点。

教学片段五：慧眼识角。

（课件动态呈现荡秋千图）

师：荡秋千的过程中，也有今天认识的角，我们一起来看一下。

学生边模仿动作边找角，结合学生的回答，课件动态演示出绳子由起始状态绕着点慢慢旋转，形成一个角的过程。随着摇摆幅度的变化，明确角有大小之分，为下节课做铺垫。（如下图）

结合观察动态秋千图，引导学生认识动态变化中的角。这里，一是动态演示了一条射线绕着端点旋转而成的角，为四年级的“角的再认识”做铺垫；二是渗透了角的大小与角的张口大小有关，为下节课“角的大小”的学习埋下伏笔。

在磨课过程中，前面提及的三位老师的想法也逐渐改变，他们感悟到只有对学情有了较准确的把握和清晰的认识，才能准确拿捏“从生活到数学，从感性到理性”的“度”。他们认为北师大版教材将“角的大小比较”后移到第二课时是非常有道理的，这样才能腾出时间与空间，把儿童已有的对角的粗糙的甚至错误的认识，慢慢抽象，引导学生建立对角的正确表象，积累认识图形的经验，初步发展空间观念。

（作者单位：福建泉州师范学院附属小学）