◇ 张齐华

突破，是为了给孩子更大的空间

◇ 张齐华

好的数学课堂，无疑涉及数学教学的方方面面——问题的设置、活动的组织、学生的参与、师生的对话、思维的碰撞……然而，在诸多要素中，能否设计出一个好的问题，一个有充分思考价值、适宜探究空间、无限对话可能的数学问题，无疑是其中的重中之重。下面，笔者以苏教版教材中的 “解决问题的策略——一一列举”为例，稍作阐释。

作为苏教版教材的独创性内容，“解决问题的策略”在收获无数掌声与肯定的同时，也曾经遭受非议与质疑。教材的困境主要在于，既然是解决问题的 “策略”，而非“技巧”或“方法”，其对“数学问题”本身的复杂性、综合性等就有着有别于其他数学问题的更高要求。否则，“策略”就很难成为学生自觉的内需，“为策略而策略”自然就成为广大一线教师质疑的主要视角。然而，课程标准又对教材中数学问题自身的难易、复杂程度有着刚性的规定。于是，在难与易、繁与简之间，教材左右为难。我们不妨先来看一看教材在修订前后所选择的两个相近却又略有不同的问题情境。

先来看修订之前的苏教版课程标准实验教材所选择的情境与题材。

既然要解决“有多少种不同的围法”，学生自然需要将所有的围法都一一列举出来。但问题是，列举的“策略”倒是有了，但解决问题所需要的“策略”却不是学生内在的一种自觉需要，而更像是教材的一种“人为规定”——你让我寻找有多少种不同的围法，我当然只能把这些围法一一列举出来。如此一来，比“解决问题的策略”更重要的“运用策略的意识”在这一过程中就被无形消解掉了。一线教师在执教过程中的质疑，更多便源自于此。

2013年前后，随着国家数学课程标准的修订，教材也做了相应的调整。我们可喜地发现，上述问题情境在主体不变的情况下，有了一些细微的调整。而调整的背后，恰恰指向了如何让学生自觉产生“一一列举”这一解决问题策略的内在需求。

如果说，由“18根”增加为“22根”，数量的适度增加是为了让“围法”更趋于多样，从而更有利于体现策略的价值的话，那么，由“有多少种不同的围法”转变为“怎样围面积最大”，问题的最终变更，则更彰显了教材对“策略意识”的关注。“怎样围面积最大”一问，貌似并没有要求我们列举出“一共有多少种不同的围法”，但要顺利解决这一问题，列举出各种可能性却是多数学生的必由之路。细微的改变背后，“解决问题的策略”由被动地要求转化为学生解决问题的主动意识与自觉选择。

然而，在实施教学时，新的问题又出来了。一来，有学生很快提出：“在周长不变的情况下，长与宽的大小越接近，面积越大。”学生经验中已有的拓展性内容，消解了原本需要“一一列举”的策略需求。二来，貌似开放的问题，实质空间并不足够大。至少，在解决这一问题时，凡运用“一一列举”策略的学生，几乎都是从“22根木条如何围成一个长方形”这单一的角度切入的，没有其他更多的可能。所不同的，也仅在于有些学生选择了列表，有些学生则没有；有些学生做到了有序，而有些学生没有；有些学生列举时出现了重复或遗漏，而有些学生没有。这些差异，固然构成了后续教学的重要载体，也使“一一列举”的意义、价值、内涵得到了丰富。但是，问题本身的半封闭性，阻碍了学生从更多元的视角切入问题解决，从而让原本可以更开放、更多元、更丰富的数学思维窄化了，这不能不算是题材本身所带来的一种遗憾。

正如前面所述，笔者最终在确定问题情境时，在保留话题不变的同时，将“怎样围面积最大”更改为一个更开放的任务情境 “能否用22根1米长的木条围一个面积是20平方米的长方形花圃”。无疑，在问题限定的框架下，这是一个不可能完成的任务。但是，要想说明其不可能，则需要稍费周折。众所周知，面对这样的情境，要说明“能完成”，只需要列举出一种符合条件的情形即可；而要说明其不可能，则需要将所有满足条件的情形“一一列举”出来，只有一一排除、否定了，我们才能够说明这一任务是无法完成的。“一一列举”便成为学生完成这一任务的不二选择。

更重要的是，这一转变还给学生的思维留下另一条秘密通道。因为，为了说明不可能，我们不仅可以列举出“22根1米长的木条究竟能否围成一个面积是20平方米的长方形花圃”。此外，我们还可以反其道而行之，推断出：“要围成一个面积是20平方米的长方形花圃，究竟需要多少根1米长的木条？有多少种可能？有没有22根这种可能的存在？”这当中，既彰显了逆向思维本身的价值，又让学生在双向探究的过程中，对“周长一定时面积的多样性”与“面积一定时周长的多样性”等问题有了丰富的认知。而“一一列举”的策略在这双向的过程中都能够得到充分的呈现。可以说，正是问题本身细微的变化，学生思维的空间、对话的丰富性、对策略感受的深刻性都得到了必要的提升。在笔者看来，这就是好问题所能够给课堂带来的最好福利。

当然，新授内容如此，练习内容也亦然。综观教材和各类教学资料，笔者选择的两个题材，并不是最有新意与趣味的——一个涉及投靶、一个涉及抛硬币，平淡无奇。然而，笔者关心的不是题材本身，而是题材是否蕴涵足够的思维价值与探究空间。因为，这是一道习题能否算得上“好问题”的重要标准。由上面的分析可知，选择“投靶”作为练习之一，是看中了学生在探索过程中，有可能会将8+8和10+6看作两种情况。这可以视作学生的一种粗心或失误，但往深处看，这里涉及“一一列举”策略的另一关键要素：我们在关注列举过程中的有序和不遗漏的同时，也要看到所列举的情形有没有出现重复。而选择“抛硬币”作为最后的练习，是因为这个问题看似容易，但实际上布满陷阱。面对“一正一反时，我们究竟该算作两种情况还是一种情况”这一问题，抽象的思辨显然已经无法帮助我们获得结论。此时，“数学实验”作为解决问题的又一策略自然就开始介入其中。事实上，借助最后一个问题，学生不仅在思辨与实验过程中获得了问题的解决，更重要的是，他们在探索过程中逐渐意识到，在解决较复杂的数学问题时，有时我们需要调动不同的 “策略”协同参与其中，这样才能更有效地解决问题。策略有时不仅仅是单兵作战的，灵活运用不同的策略共同来解决某些数学问题，恰恰是数学学习的必由之路，我们需要遵循这样的规律。

（作者单位：江苏南京市北京东路小学）