●刘其梅

(霍邱县第一中学 安徽霍邱 237400)



一道常见数列题引发的思考

●刘其梅

(霍邱县第一中学 安徽霍邱 237400)

数列是高中数学的重要内容，虽然经历了多次课改，但它在高中数学中的地位从未动摇，在高考中所占的比重一直都较大.因为与数列有关的题目尤其是大题，综合性较强，难度较大，所以很多学生都惧怕数列题.若能掌握一些解决技巧，则能使题目简化，使运算简洁优美，从而大大提高了解题速度.

笔者从一道常见数列题求和的角度，引发不被人们所关注的数列——常数列的思考，探寻常数列在解多种题型中的巧妙应用，感受其优美.

例1 数列{an}满足an=n·3n，求数列{an}的前n项和Sn.

解法1 由Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,知

3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1.

2个式子相减可得

-2Sn=1·3+1·32+1·33+…+1·3n-n·3n+1,

从而

解法2 因为an=n·3n，所以Sn-Sn-1=n·3n，经配凑可得

故

解法1是我们常用的一种方法——错位相减法，该解法计算量较大，过程较繁杂，在应用的过程中容易出错.解法2通过配凑后得到一个常数列，利用常数列各项都相等的特点很轻松就得到了数列{an}的前n项和.因此，只要掌握了“配凑”技巧，解法2明显优于解法1.通过本例，读者是不是与笔者一样看到了常数列的神奇，是不是也喜欢上了它？下面笔者从4个方面阐述常数列在解数列题中的神奇妙用.

1 常数列在数列求和中的妙用

分析 仿照例1的解法，构造常数列来解决此题的求和问题，难点在于如何“配凑”，可尝试用待定系数法进行配凑.

2个式子比较可得

等式2边比较可得a=-4,b=-10，于是

故

此题中用待定系数法解决了“配凑”这一难题……