●孙小龙

(如皋市第一中学 江苏如皋 226500)



学生课堂追问引发的思考

●孙小龙

(如皋市第一中学 江苏如皋 226500)

笔者在讲解一道直线与圆位置关系试题时，有学生质疑解题过程中的设法，笔者随即与学生进行了交流，随着学生的逐步追问，师生对疑虑进行了深入地探究.

题目 求经过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.

解 设圆的方程为

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)，即

x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0.

该解法设法巧妙，圆随着λ的变化而运动，利用函数思想快速求出了面积最小的圆的方程.

一位喜好钻研的学生问：为什么这样设？为什么这样设的曲线一定表示经过直线和已知圆交点的圆呢？

(对于学生提出的这个问题，笔者胸有成竹.)

师：对于方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)，方程组

的解一定满足曲线方程，即经过已知直线与圆的交点.

学生追问：为什么这样设的曲线方程一定表示圆呢？

师：因为这是一个二元二次方程，而且满足圆的一般方程的特点，所以表示圆.

学生又追问：圆的一般方程表示圆除了形式上的特点，还有一个重要的条件是：

D2+E2-4F>0，

你没有验证怎能直接说该曲线表示的是圆呢？

学生的提问有理有据，没有任何破绽，笔者感到很欣慰，表扬学生很细心，有质疑精神.

师：方程整理可得

x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0，

D2+E2-4F= (2+2λ)2+(4+λ)2-4(1+3λ)=

5λ2+4λ+16,

由5>0，Δ<0,可得5λ2+4λ+16>0恒成立，方程表示的曲线一定表示圆.

师：当D2+E2-4F≤0时，方程表示一个点或者不表示任何曲线，而直线2x-y+3=0与圆x2+y2-2x-4y+1=0相交，有2个不同的交点，方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)一定经过2个不同的点，于是D2+E2-4F>0成立，曲线方程一定表示圆.

学生再次追问：方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)表示经过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点的圆，能表示经过交点的所有圆吗？