安徽省合肥中科大附中 黄严生 高龙锦

盘点向量运算，直击向量应用

安徽省合肥中科大附中 黄严生 高龙锦

向量是数学中重要且基本的数学概念。向量既有大小又有方向，既有代数属性又有几何属性，是沟通代数、几何与三角函数的工具，为我们利用代数方法研究几何问题提供了方法和思路。本文将从如何利用向量的线性运算和数量积运算解决问题等方面，对向量的应用进行讨论和分析。

一、向量的线性运算

1.知识盘点

（1）向量的线性运算有加法、减法和数乘，加法和减法有三角形法则和平行四边法则，数乘就是一个实数与一个向量相乘，其结果仍是一个向量，所得的向量与原向量共线。

（2）向量共线定理：对于向量a、b（b为非零向量），向量a、b共线⇔存在唯一实数，使a=λb。

若A、B、C三点共线，且点O异于A、B、C，根据向量的减法运算有，将它们代入上式，可得，整理可得。

特别说明，零向量与任何向量均共线，零向量的方向是任意的。

利用向量线性运算可以解决点点共线、线线平行以及线段的等分等问题。

（3）向量基本定理与向量的坐标表示：

如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2（e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底）。

在平面向量的运算中，我们经常选取适当的基底，将问题中的向量用基底表示，然后进行基底向量之间的运算。

若在平面直角坐标系中，选择单位正交基底i、j，方向分别与平面坐标系中x轴和y轴的正方向相同，那么平面中任何一个向量a都可以表示为a=xi+yj，（x，y）叫作向量a的坐标，于是a用坐标表示为a=（x，y）。……