褚智伟

[摘 要] 数学知识的抽象性和逻辑性决定了数学课堂的枯燥和无味，但是，在数学课堂中合理地利用数学游戏可以改善学生对数学的理解，激发学生学习数学的兴趣，对数学知识形成积极的求知欲，同时，利用所学的数学知识又可发掘游戏中的奥妙，获得数学游戏的成功，从而实现在数学课堂的共生理想.

[关键词] 共生；数学知识；数学游戏

共生理论

“共生”一词，最初出现在生物学当中. 我国研究者吴飞驰在《关于共生理念的思考》中指出：“共生是人类之间、自然之间以及人与自然之间形成的一种相互依存、和谐、统一的命运关系.” 因此，共生关系的核心在于既相互依存、互惠互利，又尊重个性、和而不同，这同样是我们教育领域极力追寻的一种理想状态. 那么作为教育的主阵地——课堂也可确立一种共生的理想.

数学课堂因为数学知识本身的抽象性和逻辑性，给人一种严肃而乏味的感觉，它不像艺术或者文科课程那样具有直观性及美感. 因此，大多数学生觉得数学课是枯燥的，对数学的学习提不起兴趣，应付完考试后可能对所学的数学知识也就遗忘了. 数学游戏是以游戏为手段，数学知识为载体的一项数学活动. 数学游戏作为数学文化的一部分，极具趣味性、挑战性和思想性. 如果我们能合理地将数学游戏融入数学课堂，那么它既可以弥补数学课堂的枯燥无味，激发学生的游戏精神，又可以让学生在数学游戏中感受数学知识的重要，那么，我们就可以实现数学课堂中的一种理想共生.

当然，我们在这里并不是强调数学课堂就变成数学游戏课堂，数学游戏的融入应该是结合教学实际情况安排时间来指导学生学习的，它更多的可以理解为学生数学学习的一种辅助手段，但又是有着积极影响的. 因此，通过数学游戏可以激发学生的学习兴趣，丰富数学知识，加深对数学的认识，培养观察、动手和思考能力，让学生树立积极灵活应用数学的态度.

如何让数学游戏和数学知识合理共生就值得我们去思考，因此游戏的选择以及合理的安排就显得格外重要，以下就结合笔者的教学实践来说明.

数学游戏融入数学课堂案例

1. 消失的面积

2009年刘谦的“拼图魔术”让人感到有些“不可思议”，大概的表演过程如下：刘谦拿出一个正方形的积木，它被分割成若干个部分，小时候，他先把它弄乱，然后很快重新拼成正方形，自我感觉非常聪明，但是店员告诉他忘拿了一小块，经过他的一系列操作后，拼成原来的形状；更为神奇的是，店员告诉他还忘拿了一小块，这块比刚才的那小块还大，经过他的又一系列操作后又变回原来的形状，从此后他再也不敢碰它.

很多人认为这个魔术利用的是菲波那切数列，这是个误区，实际上跟那个数列没有关系. 为了更好地说明这个魔术的原理，我们做了几个图，把拼图的模型还原，看看到底是怎么回事，图1是原图，就是积木刚拿出来时的原始尺寸，是7×6见方的，与他用的那个模板尺寸相同.

注意，当他打乱积木，并且重新摆好的时候，成了图2的样子，9号块已经没有了，仔细看录像，可以发现是压在了2号块的下面，所以2号块可能是下面空心的. 现在，拼图的尺寸已经不足7*6了，但是肉眼很难觉察出来. 然后他拿出来一块“a”拼在图里，成了图3的样子，注意尺寸还是不足7×6. 又拿出一块“b”并且旋转90度，拼入图中，成了现在的样子. 此时，因为a块+b块的尺寸之和与9号块的面积相等，所以现在的图形恰好达到了原始尺寸：7×6. 此时用模板一卡，正好是严丝合缝的.

为了帮助揭秘，先从一个简单的拼图魔术着手，单击图5中的移动按钮，则左图中的每一小块在经历简单的平移操作后便成为右图，可是中间多出了一小块空白的正方形. 玄妙在哪儿呢？当鼠标在绘图区的空白区域右击，勾选“显示网格”后，观察图6，会发现其中的秘密——是眼睛欺骗了我们，移动前的正方形变化后不再是正方形，而是一个长方形.

这个魔术其实就是等积变换的应用，并不需要高深的数学知识，之所以将它融入课堂，就是想告诉学生眼见不一定为实，所以，笔者近几年来都会在第一次数学课中演示这个魔术给学生看，目的很简单，就是通过这个关于数学的魔术让学生感受数学知识在生活中的应用，对数学有一个更全新的认识，从而改进学生数学学习的态度.

2. 数学游戏汉诺塔

“汉诺塔”是来自印度古老的传说，大致内容为：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针，印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针从上到下穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔，也叫河内塔. 梵天命令僧侣们把圆盘从下到上按大小顺序重新摆放在另一根针上，并且规定：在三根针之间只能移动一个圆盘，每次移动时小圆盘上不能放大圆盘. 从此，不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照法则移动这些金片，一次只能移动一片，不管在哪根针上，小片必须在上面. 僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移动到另外一根针上时，世界就将在一片霹雳中毁灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.这个预言会实现吗？

这个游戏的玩法就是：用最少的步骤将一根柱子上的圆环全部移到另一根柱子上，并且要求一次只能移动一个圆环并且小圆环必须始终在大圆环上面，并且可以知道需要移动的最优次数是多少.

要完成这个游戏，从数学知识本身而言要学习数列及数学归纳法，就思维层次而言要具备一定的思考能力及归纳推理能力. 所以我们就需要在完成上述教学任务后开展此数学游戏活动，当然这个数学游戏的基础是学生的动手操作，关键是利用倒推法给出合理玩法及算法. 要找到这个游戏的核心思路和关键步骤的前提并不是以64个圆环开始研究的，而是尝试从较少个圆环开始的，用倒推法，推导出移动3个环和4个环，可以发现玩好汉诺塔的关键是要想清楚第一环究竟要移到目标柱，还是先移到辅助柱. 得出单数个环，就要将第1环移到目标柱去，双数个环，就要将第1环移到辅助柱去. 这就是玩好汉诺塔的秘诀，关于算法我们可以分析到首先被移到目标柱的必定是最大的环，否则违反“在移动过程中始终保持小盘在大盘之上”的规定. 既然要将最大的环移到目标柱，此时最大环之上必定没有任何盘子，也就是它独自在一根柱子上，要做到这点最优做法当然是把较小的n-1个环由起始柱移到辅助柱，剩下的最大的环独自在起始柱，将n-1个环由起始柱移到辅助柱的最小次数为f（n-1）. 此时再将最大环由起始柱移到目标柱，此时，移动总数为f（n-1）+1，接着把剩下的n-1个环由辅助柱移到目标柱，花费的最少次数也是f（n-1），则f（n）=2×f（n-1）+1. 利用数学归纳法及等比数列公式可以得出通项公式：f（n）=2n-1，我们发现，利用这个公式，印度传说中的n=64，需要移动多少次呢？f（n）=264-1，假如每秒钟一次，需要5845亿年，而地球存在至今不过45亿年. 看来僧侣们的预言不太容易实现.

关于汉诺塔这一具有操作性的数学游戏，需要一定时间的操作，将外部的动作内化，通过学生的思考和探究，得出解决这一问题的策略，它既训练了学生思维的深刻性和灵活性，同时又可以在课后成为与魔方、九连环等一样具有竞技性的数学比赛，让学生感受到数学的有趣.

3. 天平称重问题

问题：某工厂生产了一批乒乓球，在质量检验时，不小心把一只次品乒乓球与11只正品混在一起去了，由于次品乒乓球除了在质量上与正品不同外，其余属性（如大小、外观等）完全一样，因此无法从外表上把它区分出来，现在只有一架没有砝码的天平，要求只能称三次，就把次品乒乓球找出来，并要弄清楚次品比正品重还是轻.

关于天平称次品问题是一个较为经典的数学游戏，看上去具有操作性这一特点，但实质它与汉诺塔这类问题是截然不同的，需要合理的分类讨论，我们的解决过程是将这12只乒乓球编成1，2，3，…，12，这12个号码. 借助于类似于数形图的方式，给出分析的过程.

第一次称，先将12只乒乓球任意分成三组，每组4只，然后把任意两组置于天平两端（如1，2，3，4和5，6，7，8），天平就有平衡和不平衡两种情况.

一、天平平衡，则次品就在9，10，11， 12这组中，这时可以把9，10，11，12中的任两只（如9和11）放在天平的一端，另一只（如10）和一只正品放在天平的另一端进行第二次称，它也有平衡和不平衡两种情况.

（一）天平平衡，则12就是次品，把12和一只正品在天平上第三次称时，就能决定12比正品重还是轻.

（二）天平不平衡，次品就在9，10，11中，假如天平左重右轻，将9与10对换，并把对换后的10再与另一个正品对换，这时有三种可能：1. 天平变平衡，则10就是次品，且比正品轻；2. 天平不变（仍是左重右轻），则11就是次品，且比正品重；3. 天平变成左轻右重，则9就是次品，且比正品重.

二、天平不平衡. 次品就在第一组（1，2，3，4）或第二组（5，6，7，8）中，设天平左重右轻，把天平重端的任意三只（如1，2，3）与天平轻端的任意一只（如5）放在天平的左端，天平重端剩下的一只（如4）与三只正品放在天平的右端，进行第二次称，这时也有三种可能：

（一）天平平衡，则次品就在6，7，8中，且比正品轻，把6，7，8中的任意两只（如6，8）放在天平上进行第三次称，如天平平衡，则7就是次品；如天平不平衡，轻的一端那一只就是次品.

（二）天平不平衡，仍然是左重右轻，则次品就在1，2，3中，且比正品重，按上面的方法在第三次称重中就能找到那只比正品重的次品乒乓球.

（三）天平不平衡，但变成左轻右重，则4或5就是次品，这时把4或5与一只正品放在天平上第三次称，就能找出比正品重（或轻）的次品.

天平称重问题是最考验学生思维清晰度的一个数学游戏，这个其实就是我们数学解题中常用的分类讨论方法，对学生的逻辑思维有很好的训练作用.

4. 量筒量水问题

问题：利用两只容量分别为13升与17升的水桶，得出15升的水.自来水龙头可以随时随地地提供自来水，不受限制，并假定在倒进倒出时，操作十分谨慎，从未发生过耗损.

在初等数学课上笔者就让学生思考这一问题，很多学生经过长时间的思考后列出了图表，

在学生进入专科阶段学习了不定方程后，笔者又把这道题目拿出来，学生发现可以用方程来解决该题，相当于去求不定方程13x+17y=15的整数解.

由于13和17互质，可以先求出上面这个不定方程的通解.

x=17k-8，y=-13k+7，（k是整数）

由此得出两组绝对值比较小的整数解，

k=0时，x=-8，y=7，

k=1时，x=9，y=-6.

这两组解分别决定了两种倒出倒进的方法.

学生亲身感受到了对于同一数学问题在不同层次的数学知识基础上的差异，而且更加确定了在数学学习中“走得越高才能看得越远”，对数学的学习产生了更积极的态度.

结语

一个学生从开始上学到工作，所学的数学知识，如果不是从事与数学有关的工作，很有可能会遗忘，但是不论其从事什么工作，铭记在头脑中的数学思想、所经历的数学活动及求知能力和探究方法，将是不易磨灭的，而数学游戏就具有这样的一个功能，它可以帮助学生更好地理解数学，培养学生的创造力，激发学生学习数学的兴趣.

同时，数学课堂中数学知识的获取与数学游戏的开展并不矛盾，而是相互依托，共同发展的. 学生在数学课堂中通过数学游戏培养数学能力，形成积极的情感及态度，这恰恰就是我们教育的目标. 当然，要使数学游戏顺利开展也需要借助于数学知识经验. 那么，要顺利地将数学游戏融入数学课堂，对教师的素养也提出了较高的要求，对数学的理解，对数学文化的意识，与数学相关的各学科知识的掌握以及教学艺术的熟练应用等，这就需要在教学实践中不断地摸索及思考.