江卫华，杨彩霞

(河北科技大学理学院，河北石家庄　050018)



一类多点共振方程组边值问题正解的存在性

江卫华，杨彩霞

(河北科技大学理学院，河北石家庄050018)

求解共振微分方程边值问题解的存在性比较困难，要得到共振微分方程边值问题的正解更加困难。针对研究领域中这一问题，着重研究了一类多点共振微分方程组边值问题正解的存在性。在前人研究成果的基础上，选取的不同的算子，将方程扩展为方程组。通过在合适的空间中定义恰当的范数使之成为Bananch空间，利用O'Regan和Zima所研究出来的范数形式的Leggett-Williams定理，对非线性项做出合理的假设条件，得到了共振微分方程组边值问题正解的存在性定理。

常微分方程其他学科；边值问题；共振；正解；方程组

本文研究多点共振微分方程组边值问题：

(1)

正解的存在性。

对边值问题解和正解的研究已经取得了大量的研究成果[1-6]。特别是共振边值问题一直以来受到广泛关注，并且已经取得了很多成果[7-14]。文献[14]利用范数形式的Leggett-Williams定理给出了如下共振多点边值问题：

(2)

受上述文献启发，本文研究多点共振微分方程组边值问题(1)正解的存在性。

1　预备知识

本文所使用的一些预备知识如下，详细可参见文献[14]。

设X,Y是Banach空间，L:domL⊂X→Y为指数为零的Fredholm算子，即ImL是闭集且dimKerL=codimImL<∞。此时存在连续投影算子P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=KerL,KerQ=ImL。又dimImQ=codimImL，因此存在同构J:ImQ→KerL，若限制L在KerP∩domL上，记为LP，则它的逆算子存在，记为KP:ImL→KerP∩domL。方程Lx=Nx等价于x=(P+JQN)x+KP(1-Q)Nx。

引理1[14]设C为X中一个锥，则对每个u∈C{θ}，存在一个正数σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖，对∀x∈C。

令γ：X→C为保核收缩，即γ为一连续映射，且γx=x,x∈C。并记Ψ:=P+JQN+KP(I-Q)N和Ψγ:=Ψ∘γ。

1°在X的任意有界子集上，QN:X→Y连续有界，KP(I-Q)N:X→X是紧的；

2°对任何x∈∂Ω2∩domL,λ∈(0,1),Lx≠λNx；

4°dB([I-(P+JQN)γ]|Ker L，KerL∩Ω2,0)≠0,其中dB代表Brouwer度；

5°存在u0∈C{0}使得当x∈C(u0)∩∂Ω1，有‖x‖≤σ(u0)‖Ψx‖成立，其中C(u0)={x∈C:μu0⪯x}，μ为某些大于0的数，并且σ(u0)满足对∀x∈C不等式‖x+u0‖≥σ(u0)‖x‖都成立；……