古勇毅，袁文俊，孟凡宁

(广州大学数学与信息科学学院，广东广州　510006)



正规权Bloch空间到QT,S空间的积分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡宁

(广州大学数学与信息科学学院，广东广州510006)

算子理论是解析函数空间理论研究的重要内容，为了寻找通过探讨联立算子与函数空间的方法研究算子以及函数空间的有效途径，假设φ为单位圆盘Δ上的一个解析自映射，正规权Bloch空间μ-B是单位圆盘Δ上的一个Banach空间，定义Cφ∶Cφ(f)=f∘φ为μ-B上的复合算子，对所有的f∈μ-B，并由积分算子以及复合算子推广得到积分型算子JhCφ和CφJh，主要讨论了正规权Bloch空间到QT,S空间的积分型算子JhCφ的有界性和紧性，以及正规权Bloch空间到QT,S空间的积分型算子CφJh的有界性，并给出了相关的充要条件。

函数空间；正规权Bloch空间;QT,S空间; 积分型算子; 有界性; 紧性

1　预备知识

当h(ξ)=z时，可得(CφJhf)(z)=(JhCφf)(z)=f(φ(z))=f∘φ，即为复合算子。积分型算子的相关研究可参见文献[8—13]。

定义4[19]QT,S空间与小QT,S空间分别定义为

当s=2时，QT,2=QT；当取T(r)=rp(0

本文中的C表示一个正常数，并且在不同地方可以表示不同的值。

2　主要结果

引理2μ-B到QT,S的积分型算子JhCφ是紧算子当且仅当μ-B中的序列{fn}满足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的紧子集上一致收敛于零,则JhCφfn在QT,S中收敛到零。

证明由Montel定理和紧算子的定义容易证得。

定理1设0

(1)

证明充分性。

对任意的f∈μ-B有，

由于式(1)成立，则可得JhCφ:μ-B→QT,S有界。

必要性。

设JhCφ:μ-B→QT,S有界，且由引理1可得：

故式(1)成立。证毕。

定理2设0

①JhCφ:μ-B→QT,S,0有界；

②JhCφ:μ-B→QT,S,0紧；

证明②⟹①显然成立。

①⟹③的证明，由引理1得：

故结论③成立。

③⟹②的证明，由类似定理1的充分性证明可知，当③成立,若f∈μ-B则JhCφf∈QT,S,0,故要证JhCφ:μ-B→QT,S,0紧，只需证JhCφ:μ-B→QT,S紧，而由引理2，任取μ-B中的序列{fn}满足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的紧子集上一致收敛于零，只需证明‖JhCφ(fn)‖QT,S→0，n→∞。

由结论③成立，∃γ:0<γ<1，使得：

(2)

设a∈Δ,0k},令

(3)

故结论②成立。证毕。

定理3设0

(4)

证明充分性。

设式(4)成立，则对∀f∈μ-B有：

由式(4)成立，可得CφJh:μ-B→QT,S有界。

必要性。

若CφJh:μ-B→QT,S是有界的，则对所有的f∈μ-B，有CφJh(f)∈QT,S，由引理1有：

则式(4)成立。证毕。

3　结　论

积分型算子由积分算子和复合算子推广得到，研究正规权Bloch空间到QT,S空间之间的积分型算子是有意义的。本文给出了正规权Bloch空间到QT,S空间的积分型算子JhCφ的有界性和紧性成立的充分必要条件，以及CφJh的有界性成立的充分必要条件。

/< class="emphasis_italic">References

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IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning

(SchoolofMathematicsandInformationScience,GuangzhouUniversity,Guangzhou,Guangdong510006,China)

Operatortheoryisanimportantresearchcontentoftheanalyticfunctionspacetheory.Thediscussionofsimultaneousoperatorandfunctionspaceisaneffectivewaytostudyoperatorandfunctionspace.AssumingthatφisananalyticselfmapontheunitdiskΔ,andthenormalweightedblochspaceμ-BisaBanachspaceontheunitdiskΔ,definingacompositionoperatorCφ∶Cφ(f)=f∘φonμ-Bforallf∈μ-B,integraltypeoperatorJhCφandCφJharegeneralizedbyintegraloperatorandcompositionoperator.TheboundenessandcompactnessoftheintegraltypeoperatorJhCφactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspacesarediscussed,aswellastheboundenessoftheintegraltypeoperatorsCφJhactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces.Therelatedsufficientandnecessaryconditionsaregiven.

functionspace;normalweightedBlochspaces; QT,Sspaces;integraltypeoperator;boundedness;compactness

1008-1542(2016)04-0335-05

10.7535/hbkd.2016yx04004

2015-12-13；

2016-04-18；责任编辑：张军

国家自然科学基金(11271090)；教育部留学回国人员科研启动基金(教外司留[2015]1098号)；广东省自然科学基金(2015A030313346)

古勇毅(1985—)，男，广东清远人，博士研究生，主要从事复分析等方面的研究。

孟凡宁博士。E-mail:mfnfdbx@163.com

O174.5;O177.2MSC(2010)主题分类：47B38

A

古勇毅，袁文俊，孟凡宁.正规权Bloch空间到QT,S空间的积分型算子[J].河北科技大学学报,2016,37(4):335-339.

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning.IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):335-339.