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浅析定积分的计算和应用

2016-10-22牛艳秋

赤峰学院学报·自然科学版 2016年18期
关键词:正电荷莱布尼茨原函数

牛艳秋

(吉林建筑大学城建学院,吉林 长春 130111)

浅析定积分的计算和应用

牛艳秋

(吉林建筑大学城建学院,吉林长春130111)

定积分是高等数学的一个重要的基本概念,本文主要讨论定积分的计算和应用,对一些应用的方法和技巧进行分析和总结,进一步讨论了定积分在几何、物理、经济学等各领域的广泛应用.

微分;积分;计算;应用

微积分的两大部分是微分和积分,两个基本定理和牛顿—莱布尼茨公式说明了微分和积分的联系:

第一基本定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则变上限积分,对x求导,并且有

第二基本定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则是f(x)的一个原函数.

它告诉我们,一个连续函数f(x)的原函数不止一个,有无穷多,其中任意两个原函数只相差一个常数,因为ø(x)=是f(x)的一个原函数;所以如果F(x)是f(x)的另一个原函数,那么必有在此基础上,推得了牛顿—莱布尼茨公式

众所周知,想用定积分定义来求定积分的值是十分困难的,甚至不可能,而应用牛顿—莱布尼茨公式来计算定积分就会非常简便,它把定积分的计算方法转化为求被积函数f(x)的任意一个原函数,或者说求f(x)的不定积分,因为不定积分是f(x)的任意一个原函数的代表,所以不定积分在微积分学中也占有重要地位和作用.

1 定积分的计算方法

定积分的计算通常会采用以下三种计算方法来计算:

注意:在换元过程中,必须更换积分上、下限.(换元必换限)

2 定积分的应用

定积分的概念实质上是从实际问题中抽象而来的,因此它在几何、物理、及经济学上有广泛的应用.

定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式:求与某个区间[a,b]上的变量f(x)有关的总量Q.这个量Q可以是面积,体积,弧长,功等.我们用如下的步骤去确定这个量.

1°分割.用分点

a=x0<x1<…<xn=b将[a,b]分为n个子区间.

2°近似.找一个连续函数f(x),使得在第i个子区间[xi-1, xi]上,Q可以用量f(ξi)(xi-xi-1),ξi∈[xi-1,xi],(i=1,2,…n)来近似,这一步是问题的核心.

3°求和.将所有这些近似量加起来,得总量Q的近似值

4°取极限.当分割无限细密时,得出

对上面的求积过程可作如下的较为简捷的处理.f(ξi)用f(x)代替,Δxi用dx代替,和号Σ用积分号∫代替,即用

我们已经指出,第二步的“近似”是关键.我们在具有代表性的任一小区间[x,x+dx]上,以“匀代不匀”找出微分

然后从a到b积分,就可求出量Q.这种在微小的局部上进行数量分析的方法叫做微元法.

2.1定积分在几何上的应用

在此类题中我们采用的就是微元法,前面我们对微元法进行了分析,下面我们以解题的方式,来进一步诠释微元法的妙用:

例题求y=sinx;y=cosx;x=0以及x=2π所围平面图形的面积(见图).

2.2定积分在物理学中的应用

例题把一个带电荷量+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场,这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为(k为常数)见图,当这个单位正电荷在电场中从r=-a处沿r轴移动到r=b(a<b)处时,计算电场力F对它所作的功.

解在上述移动过程中,电场对这单位正电荷的作用力是变的,取r为积分变量,它的变化区间为[a,b],设[r,r+dr]为[a,b]上的任一小区间,当单位正电荷从r移动到r+dr时,电场力对它所作的功近似于,即功元素为于是所求的功为

2.3定积分在经济学中的应用

例题已知生产某产品x单位时的边际收入为R'(x)=100-2x(元/单位),求生产40单位时的总收入及平均收入,并求再增加生产10个单位时所增加的总收入.

在生产40单位后再生产10单位所增加的总收入可由增量公式求得

〔1〕陈文灯.高等数学辅导[M].北京:北京理工大学出版社,2011.5.

〔2〕孙淑珍.高等数学解题与分析[M].北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2010.9.

〔3〕徐兵.微积分(经管类)[M].北京:高教出版社,2010.8.

〔4〕张明智.高等数学[M].北京:中国电力出版社,2007.

〔5〕见涛.定积分的计算与应用[J].新课程学习,2013(8):54-55.

〔6〕同济大学数学系.高等数学上册[M].北京:高教出版社,2007.4.

〔7〕王丹.高等数学习题课教程[M].长春:吉林大学出版社,2014.11.

O241.8

A

1673-260X(2016)09-0003-02

2016-04-11

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