单彩虹 李慧珍 夏静

【摘 要】向量組的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。

【关键词】向量；矩阵；线性代数

矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。

向量组线性相关性判定定理 向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。

证 先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：

记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知

R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）

又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。

例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。

证一 根据题设可得

b1-b2+b3-b4

=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0

由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。

证二 两向量组表示的矩阵形式为：

因为detK=0，所以R（K）<4。

由矩阵秩的性质知

R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）<4

由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。

上述两题在证明过程中都用到了矩阵的秩的性质，例1中用到的性质是：若P，Q，可逆，则R（PAQ）=R（A），用通俗的语言叙述就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩。B=AK，因为K可逆，所以得到R（B）=R（A），但是在例2中矩阵K的行列式等于零，K不是可逆矩阵，就不能用这条性质了，例2中用到的矩阵秩的性质是：R（AB）≤min{R（A），R（B）}，乘积矩阵的秩不超过这两个矩阵秩的最小者。……