刘庆辉，贾东芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

数学与应用数学

双调和Neumann算子特征值的上界估计

刘庆辉，贾东芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

在经典Kröger上界估计的基础上，通过构造新的校验函数，得到了双调和算子Neumann特征值的上界估计以及两个推论。

双调和算子；特征值；上界估计；校验函数

Laplace算子的谱理论是国际数学研究的前沿领域之一，近年来在这方面国内外有相当多的研究成果和诸多尚未解决的问题，对该领域的研究具有重要的理论和应用价值，特别是对偏微分方程和微分几何的应用，因为特征值不仅是由区域的几何性质决定，而且，反过来，在一定情况下，它也能反映区域的几何性质，如区域的体积、边界的面积、曲面的曲率等。其边界条件主要分为Dirichlet条件和Neumann条件，两类不同边界条件下的特征值问题主要区别在于前者一般得到的是特征值的下界估计，而后者得到的是特征值的上界估计［1］。本文假设Ω为欧氏空间nR中具有光滑边界的有界区域，考虑下列双调和算子Neumann特征值

的上界问题。

定理 设Ω为欧氏空间nR中具有光滑边界的有界区域，假设

是问题（1）的前k+1个特征值，那么

定义函数

用L（φ1，φ2，…，φk）表示由φ1，φ2，…，φk张成的函数空间，则

那么函数

定义 令

则fz（y）可作为求解特征值μk+1的一个检验函数。这是因为

根据最大最小原则［2］，

可以作为μk+1的一个上界。这里Br代表Rn中，中心在原点，半径为

的球。

通过计算，可以得到

而且

因此

利用数学归纳法进行证明。……