刘冬兵，马亮亮

（攀枝花学院数学与计算机学院，四川攀枝花617000）

自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解

刘冬兵，马亮亮

（攀枝花学院数学与计算机学院，四川攀枝花617000）

应用待定系数法研究了自然数n次幂的求和公式及其因式分解的计算机符号推导，并给出线性方程组中系数矩阵所对应的n=1-16的条件数，同时将该方法应用到所有的自然数的多项式函数求和公式及其因式分解.

自然数；n次幂；和；条件数；因式分解；符号推导

0　引言

关于自然数的n次幂求和公式的推导，历来都吸引数学家的研究兴趣。公元前三世纪阿基米德（Archimedes）在《论劈锥曲面体与球体》中已记载了相当于

的公式；七世纪的印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）已求出了自然数的三次方幂的和公式；十一世纪的伊斯兰数学家阿尔·卡希（Al Kashi）求出了自然数的四次方幂的和公式；对于一般的自然数幂和公式，现在公认是瑞士数学家雅可·贝努里（Bernoulli）在他的著作《猜度术》（1713年出版）中首先给出的，贝努里认为，自然数前n项k幂的和是的k+1项多项式，并且缺常数项。陈景润等人在文献［1-3］中做出大量的研究工作，于延荣等在文献［4］中应用高阶等差数列求和公式在计算机上实现了自然数的任意p次幂的前n项和的公式，朱豫根等在文献［5］研究了幂和公式中的系数的一个递推关系式，胡灿等在文献［6］中应用Vandermonde行列式和Cramer法则，证明了一个自然数幂求和公式一般表达式和多项式表示素数问题的研究。本文应用待定系数法实现了自然数n次幂求和公式及其因式分解的计算机推导，在此基础上进一步将该方法应用到所有的一般多项式函数求和公式及其因式分解上。

1　相关知识

对于自然数n次幂的前m项和公式有如下定理：

定理1［6］设m和n为正整数，那么有

定义1［7］若n×n方阵A非奇异，则称为A的条件数，记为。

本文研究自然数的n次幂的求和公式:

当n=1时即自然数求和公式：

当n=2时即自然数平方和公式：

都是我们熟知的。

但当n为更大的自然数时如何推导公式，本文应用待定系数法进行推导，得出了一系列公式。

先假定自然数1到m的n次幂的和fn+1（m）是一个m的n+1次多项式，下面说明这个假定是正确的。

fn+1（m）可写成

fn+1（m）=mn+（m-1）n+（m-2）n+…+［m-（m-2）］n+［m-（m-1）］n（6）

上式中每一项展开后都有m最高次项mn，而这样的项一共有m个，于是加起来后的最高次项为m× mn=mn+1

2　应用待定系数法推导自然数n次幂求和公式

2.1推导自然数n=1次幂求和公式

n=1时，自然数1到m和f1+1（m）是一个m的2次多项式，设其降幂排列的系数为a2，a1，a0，则多项式为

已知m=1，2，3时，f1+1（m）=1，3，6，据此可以列出方程组：

求解此方程组可得：

得到

2.2推导自然数n=2次幂求和公式

n=2时，自然数1到m的平方和f2+1（m）是一个m的3次多项式，设其降幂排列的系数为a3，a2，a1，a0，则多项式为

已知m=1，2，3，4时，f2+1（m）=1，5，14，30，据此可以列出方程组：

得到

2.3推导自然数n=5次幂求和公式

n=5时，自然数1到m的5次方和f5+1（m）是一个m的6次多项式，设其降幂排列的系数为ak，k=0，1，2，…，6则可列出方程组：

用分数运算形式，求解此方程组可得:

写成多项式为

分解因式后得到

2.4推导自然数n次幂求和公式

n为一般自然数时，设待定系数an+1，an，…，a1，a0，可列出n阶方程组如下：

令n为不同的自然数，求解此方程组，原则上可以得出自然数的任意n方和公式。

3　自然数n次幂的求和公式及其因式分解

3.1问题的困难

对n较小时，不难用手工方式求解，但当n较大时，从上面的运算可看到，只能借助于计算机求解。问题的困难在于以下两点：

1.不能用浮点数近似求解，这样得出的公式失去了数学之美，很难接受。同时当n较大时，方程组会出现严重病态，事实上，当n=3时，方程组的条件数为2.616 968 797 063 462×104，当n=13时，方程组的谱条件数达到2.582 411 629 286 014×1021，结果可靠性难以保证，下面给出线性方程组（16）中系数矩阵n=1-16的条件数：

表1　线性方程组（16）中的n=1-16的条件数

2.待定系数法求得的是一个降幂排列的多项式，我们希望对这个高次多项式进行因式分解，得到符合人们习惯的公式形式。

作者借助于计算机求解，使用Matlab软件中的符号运算，得到了方程组的分数形式的精确解，同样应用符号运算，得到了因式形式的公式，解决了上述问题。

3.2n=1～12的公式结果

下面给出自然数n=1～12时n次幂的求和公式的因式分解结果，且通过解线性方程组（16）解得a0=0与定理1的结果一致。当n=12时，条件数达到3.351366570550992×1019，可以得到因式分解的公式。但是当n≥13时，由于数字太大，超过Matlab符号运算的能力，已不能求出精确的分数形式的公式。

n=1时，公式为：

4　自然数的一般多项式函数求和公式及其因式分解

下面考虑更一般的情况。设fn（m）为自然数m的n次多项式函数，类似于定理1，容易得到如下定理：

定理2.设m和n为正整数，那么有

其中fn+1（m）是关于m的常数项为零的n+1次多项式。

那么应用待定系数法就可以推导自然数的一般多项式函数求和公式。如求：

根据定理2，f4+1（m）是一个5次多项式，设其降幂排列的系数为ak，k=0，1，2，3，4，5，分别取m=1，2，3，4，5，6，则可列出6个线性方程，它们组成线性方程组：

用Matlab的符号运算求解，得出分数形式的解：

即有公式：

应用Matlab软件进行因式分解，得：

上述所求公式与数学手册上公式是一致的，并求出f20+1（m）是一个21次多项式的线性方程组所对应的条件数为2.185 101 904 058 601×1035。

5　结语

通过本文的研究加深了对“数值计算方法”课程中的条件数内容的认识，以及线性方程组中的系数矩阵中有非常大的条件数，会产生严重的病态现象，方程组的解会出现失真解的情况，必须采取预处理等方法解决。

综上所述，用待定系数法结合解线性方程组，原则上可以应用计算机推导出所有的自然数的一般多项式函数求和公式及其因式分解。为了得到自然数更高次幂的求和公式与因式分解，作者将应用其它方法，是下一步研究的课题。

［1］陈景润，黎鉴愚.关于等幂和问题［J］.科学通报，1985，30（4）:316-317.

［2］陈景润，黎鉴愚.关于幂和公式的一般性质［J］.数学研究与评论，1986，6（1）:43-50.

［3］陈景润.自然数幂求和［J］.数学季刊，1987（1）:1-17.

［4］于延荣，陈汝栋.自然数幂求和公式的计算机实现［J］.数学的实践与认识，2003，33（5）:106-107.

［5］朱豫根，刘玉清.关于幂和公式系数的一个递推关系式［J］.数学的实践与认识，2004，34（1）:170-173.

［6］胡灿，张元标.自然数幂求和公式的计算机实现［J］.成都理工大学学报（自然科学版），2003，30（5）:534-536.

［7］杨大地，王开荣.数值分析［M］.北京:科学出版社，2006.

The Sum Formula of the Natural Number Nth Power and Its Factorization by MATLAB

LIU Dong-bing，MALiang-liang
（College of Mathematics and Computer，Panzhihua University，Panzhihua，Sichuan 617000，China）

With the method of undetermined coefficients，this paper studies the sum formula of the nth power and its factorization by the computer symbolic derivation.It also gives the condition number of n=1-16 for the coefficient matrix in linear equations.In addition，this method can also be applied to the polynomial function sum formulas and factorization of all the natural numbers.

natural number；the nth power；sum；condition number；the factorization method；symbolic derivation

O156.1

A

1673-1891（2016）03-0017-04

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.03.006

2016-05-04

四川省教育厅自然科学基金资助重点项目（16ZA0411）；攀枝花市市级应用技术研究与开发自然科学基金资助项目（2014CY-G-22）；攀枝花学院教研教改项目（JJ1329；JJ1376）。

刘冬兵（1972—），男，湖南宁乡人，硕士，副教授，研究方向:微分方程数值解。